3、拓扑分类与自然数划分问题研究

拓扑分类与自然数划分问题研究

1. 可积系统与标记分子

在可积系统的研究中，标记分子是一个重要概念。标记分子 (W^ ) 是在分子 (W) 的基础上，配备了三组被称为标记的数 (r_i)、(\varepsilon_i) 和 (n_k)。有如下重要定理：
- 定理2.2（Fomenko, Zieschang） ：两个可积系统 ((v, Q^3_h)) 和 ((v’, Q’^3_h)) 是刘维尔等价的，当且仅当它们的标记分子 (W^ ) 和 (W^{ ’}) 重合。
- 定理2.3 ：任何抽象标记分子 (W^ ) 都可以实现为某个可积哈密顿系统的标记分子。

由此还能得到一些推论：
- 可积系统的刘维尔等价类和标记分子之间存在一一对应关系。特别地，可积系统的刘维尔等价类集合是离散（可数）的，且没有连续参数。
- 存在标记分子（即可积系统类）的枚举算法。
- 存在比较标记分子的算法，即能回答对应于给定分子的两个可积系统是否刘维尔等价的问题。

2. 旋转曲面上带势的测地流

考虑一个与有限区间 ((a, b)) 和圆 (S^1) 的叉积微分同胚的流形 (M)，在 (M) 上定义度量 (ds^2 = dr^2 + f^2(r)d\phi^2)，其中 (r) 是 (f(r)) 的自然参数，(f(r)) 是 ((a, b)) 上的光滑正函数，且 (f(a) = f(b) = 0)，绕 (Oz) 轴旋转该函数得到的旋转曲面是光滑流形，(\phi) 是圆 (S^1) 上的常规角度坐标。设 (V(r)