1、现代代数与分析中的正交递归展开稳定性研究

现代代数与分析中的正交递归展开稳定性研究

1 研究背景与动机

在现代数学、力学和工程领域，解决复杂技术问题需要结合基础科学与应用科学。为了缩小理论基础与创新应用之间的差距，来自多个国家的研究人员共同合作，致力于解决数学、力学和工程中的应用问题。其中，正交递归展开在冗余子空间系统中的绝对稳定性研究是一个重要方向。

正交递归展开在子空间系统中的研究是对经典正交展开的自然推广。它在许多实际应用中具有重要意义，例如在信号处理、数据分析等领域。然而，在实际应用中，正交递归展开可能会受到投影误差和系统扰动的影响，因此研究其绝对稳定性至关重要。

2 正交递归展开的基本概念

2.1 正交递归展开的定义

设 (H) 是一个希尔伯特空间（这里考虑实数域上的空间，复数域上的情况类似），({H_n} {n = 1}^{\infty}) 是 (H) 的一组闭子空间，(f \in H) 是待逼近的元素。我们通过归纳法定义展开元素 ({\tilde{f}_n} {n = 1}^{\infty}) 和余数序列 ({r_n(f)} {n = 0}^{\infty})：
- (r_0(f) = f)；
- (\tilde{f} {n + 1} = P_{n + 1}(r_n(f)))；
- (r_{n + 1}(f) = r_n(f) - \tilde{f} {n + 1} = P {n + 1}^{\perp}(r_n(f)))

其中 (P_{n + 1}) 是到 (H_{n + 1}) 的正交投影算子，(P_{n + 1}^{\perp}) 是到 (