数列分块入门

本文介绍了数列分块算法的基本原理与实现方法,通过将数列分为多个块,实现整块操作的快速标记和局部精确计算,有效提高了查询效率。文章提供了完整的代码示例,适合初学者学习。

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题目全在LOJ上,就叫数列分块入门
首先介绍一下分块
分块是一个适用范围很广的数据结构
基本思路就是:整块的操作O(1)打标记,边角暴力
希望退役之前能做完1~9


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我们把这个n个元素的数列分成num个大小为size的块,size=n/size 做加法的时候,整块的就$O(1)$标记,不是整块暴力加上 查询的时候取出元素加上其所在块得标记即可 不是暴力的最多有2*size-2个,最多有n/size块 所以复杂度为O(n/size+size),由基本不等式得 $n/size+size≥2*sqrt(n)$ 当且仅当n/size=size,即size=sqrt(n)时,等号成立 所以我们就把size定为sqrt(n) ``` #include #include #include #include #include #define MAXN 50010 #define For(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i) using namespace std; inline int read() { char c;bool t=0;int a=0; while((c=getchar())==' '||c=='\n'||c=='\r'); if(c=='-'){t=1;c=getchar();} while(isdigit(c)){a*=10;a+=(c-'0');c=getchar();} return a*(t?-1:1); } struct Block{ int l,r,tag; }b[250]; int size,num,n,a[MAXN]; void modify(int l,int r,int x) { int s=ceil((double)(l*1.0/size)); while(b[s].l<=r&&s<=num) { if(l<=b[s].l&&b[s].r<=r)//整块 { b[s].tag+=x; } else//边角 { int rr=min(r,b[s].r); for(int i=max(l,b[s].l);i<=rr;++i) a[i]+=x; } ++s; } } int ask(int x) { int cnt=ceil((double)(x*1.0/size)); printf("%d\n",a[x]+b[cnt].tag); } int main() { bool opt; int tx,ty,tz; n=read(); size=sqrt(n); num=ceil((double)(n*1.0/size)); For(i,1,num) { b[i].l=1+(i-1)*size;b[i].r=i*size; } For(i,1,n) a[i]=read(); For(i,1,n) { opt=read();tx=read();ty=read();tz=read(); if(!opt) modify(tx,ty,tz); else ask(ty); } } ```
### 数列分块入门第8题的算法实现与解析 数列分块是一种高效的处理区间查询和修改的技术,其核心思想是将数组划分为若干个连续的小块,每一块内的元素可以快速更新或查询。对于数列分块入门第8题,假设问题是涉及区间的加法操作以及最大值查询,则可以通过以下方法来解决。 #### 1. 数据结构设计 为了高效完成区间加法和最大值查询的操作,我们可以维护两个辅助数组: - `block_sum[]`:存储每个块的最大值。 - `lazy_tag[]`:标记每个块是否有延迟更新(即尚未应用到具体元素上的增量)。 这些数据结构的设计使得我们可以在 $ O(\sqrt{n}) $ 的时间复杂度下完成单次操作[^3]。 #### 2. 初始化过程 初始化时,我们需要计算初始状态下的块划分情况,并填充上述辅助数组的内容。以下是具体的代码实现: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 1e5 + 5; int a[MAXN], block_size, block_num; long long block_max[400]; bool lazy_flag[400]; void build_block(int n) { block_size = sqrt(n); block_num = (n + block_size - 1) / block_size; memset(block_max, 0, sizeof(block_max)); memset(lazy_flag, false, sizeof(lazy_flag)); for (int i = 0; i < n; ++i) { int idx = i / block_size; block_max[idx] = max(block_max[idx], (long long)a[i]); } } ``` #### 3. 延迟标记的应用 当执行区间加法时,为了避免逐一遍历整个范围中的每一个元素,引入懒惰传播机制。如果某个整块完全被覆盖在当前操作范围内,则直接对该块打上标签并记录增量;否则逐一访问该块内部受影响的部分。 下面是针对这一逻辑的具体函数定义: ```cpp // Apply the pending update to all elements within specified block. void propagate(int blk_idx, int delta) { if (!lazy_flag[blk_idx]) return; // Update maximum value of this block accordingly. block_max[blk_idx] += delta * block_size; lazy_flag[blk_idx] = false; } // Add 'delta' to range [l, r]. void add_range(int l, int r, int delta, int n) { int start_blk = l / block_size, end_blk = r / block_size; if (start_blk == end_blk) { for (int i = l; i <= min(r, (start_blk + 1) * block_size - 1); ++i) a[i] += delta; // Recalculate new maximum after modification. block_max[start_blk] = 0; for (int i = start_blk * block_size; i < ((start_blk + 1) * block_size && i < n); ++i) block_max[start_blk] = max((long long)a[i], block_max[start_blk]); } else { // Process first incomplete block separately. for (int i = l; i < (start_blk + 1) * block_size; ++i) a[i] += delta; block_max[start_blk] = 0; for (int i = start_blk * block_size; i < ((start_blk + 1) * block_size && i < n); ++i) block_max[start_blk] = max((long long)a[i], block_max[start_blk]); // Fully covered blocks can simply apply tag updates. for (int b = start_blk + 1; b < end_blk; ++b){ block_max[b] += delta * block_size; lazy_flag[b] |= true; } // Handle last partial block similarly as above case. for (int i = end_blk * block_size; i <= r; ++i) a[i] += delta; block_max[end_blk] = 0; for (int i = end_blk * block_size; i < ((end_blk + 1) * block_size && i < n); ++i) block_max[end_blk] = max((long long)a[i], block_max[end_blk]); } } ``` #### 4. 查询最值功能 最后一步是在给定区间内查找最大的数值。这同样依赖于之前构建好的块级信息来进行加速检索。 ```cpp long long query_max(int l, int r) { int start_blk = l / block_size, end_blk = r / block_size; long long result = LLONG_MIN; if (start_blk == end_blk) { for (int i = l; i <= r; ++i) result = max(result, (long long)a[i]); } else { for (int i = l; i < (start_blk + 1) * block_size; ++i) result = max(result, (long long)a[i]); for (int b = start_blk + 1; b < end_blk; ++b) result = max(result, block_max[b]); for (int i = end_blk * block_size; i <= r; ++i) result = max(result, (long long)a[i]); } return result; } ``` 通过以上步骤即可有效应对数列分块相关的题目需求。 ---
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