随机素数法

素数测试

在介绍素数测试相关算法之前，先要引入欧拉定理和费马定理。
欧拉定理：对于任意的整数n>1，a^φ(n)  ≡1（mod n）对所有的a∈Z*n都成立。
其中φ（n）为Z*n的规模。φ（n）=n∏(1-1/p).可以理解成初始有一张{0,1,…,n-1}的表，然后对每个能整除n的p,在表中删除p的倍数后剩下的数。Z*n定义为{2，3…n-1}中与n互质的元素。例如：Z*14={3，5，9，11，13}，φ（14）=5。
我们考虑的一个已知元素a对模n的倍数，，考虑对模a的幂组成的序列，其中a∈Z* n:  
        a0,a1,a2,a3,……
模n.第i个数为ai mod n.
例如：对模7，3的幂为
i                0    1    2    3    4    5    6    7……
3^i % 7     1     3    2    6    4    5    1    3……
则Z*7中，<3>={1,3,2,6,4,5},则φ（7）=6同样可以得到<1>={1},<2>={1,2,4}.
由欧拉定理我们可以从而得出费马定理，他是欧拉定理的特殊表现。
费马定理：如果p是素数，则a^(p-1)  ≡1（mod p）对所有的a∈Z*p都成立。
当p为素数时，他的因子只有p和1. 根据φ（n）=n∏(1-1/p)：
φ（p）=p(1-1/p1)..(1-1/pn)=p-1
    由欧拉定理即可验证费马定理的正确性。
    对于素数测试有一种简便的方法，我们称之为试除法。就是我们用2到sqrt(n)分别去除n，每次的试除需要常数时间，最坏的情况需要的时间是⊙(sqrt(n)),n为长度。所以只有n很小或者n有小因子的时候该算法才能较快的执行。
    下面介绍一种效率较高的算法，Miller-Rabin随机素数测试法。他是对于伪素数的改进。
    所谓伪素数的定义为：Z+ n表示Z n中的非零元素：
                        Z+ n={1,2,…n-1}
如果n是一个合数，且满足  an-1≡1（mod n）则说n是基于a的伪素数。例如：341,561（基于2）。
根据费马定理如果p是素数，则ap-1  ≡1（mod p）对所有的a∈Z*p都成立。
我们可以思考，如果要判断一个数p是素数，那么我们是不是只要随机找一个a其中p>a>1,如果a^p-1  ≡1（mod p）,那么p有可能是素数了。如果对所有的a∈Z*p都成立，那么p必然是素数。反过来若发现存在一个a∈Z*p 使得ap-1  ！≡1（mod p）则p必然不是素数。我们的这个算法的思想就是使用随机的a去探测是否存在这样的一个a使得a^(p-1)  ！≡1（mod p），如果存在这样的a，那么就皆大欢喜，你已经证明了他不是素数了。如果没找到，那么他极有可能是素数了，但不一定是。
伪代码：
 Pseudoprime(n)
1        if(an-1mod n！≡1)
2                return composite.  
3        else return prime.
该过程如果结果为composite则可以认定n不为素数。如果结果返prime则极大可能为素数。如果判定为合数结果总是正确的。如果判定为素数的话，只有当n是基于a的伪素数才会出错。这个过程出错的几率相当的小，选取512位数，基于2的伪素数概率不到1/1020.在实际的操作中几乎永远不会出错。
    Miller-Rabin随机素数测试法对伪素数测试过程进行了两方面的改进：
第一：他实验了数个随机选取的a进行试验。
第二：当计算每个模取幂的值时，注意在最后一组平方里是否发现了对模n来说1的非平方根。如果存在，终止并输出pomposite.
    下面证明第二点：
    定理：如果p是一个奇素数且e≥1.则方程
                        X2≡1(mod pe)
          仅有两个解： X1=1和X2=-1。
    由定理可以得出推论：如果对模n存在1的非平凡平方根，则n是合数。（平凡平方根为1或-1）。因此检测非平凡平方根的存在可以有效的判断n是合数。把它运用与Miller-Rabin素数测试过程。令n-1=2tu,其中t≥1且u是奇数；亦即，n-1的二进制表示是奇数u的二进制后面跟上t个零。例如n=13，n-1的二进制为1100，则t=2,u=3.因此，an-1≡(a u)2^t,所以可以通过先计算a u mod n,然后对结果连续平方t次来计算an-1 mod n。
伪代码：
   WITNESS(a,n)
1        let n-1=2tu,where t≥1 and u is odd
2        x0=au mod n
3        for i←1 to t
4               do xi=x2 i-1 mod n
5                     if  xi=1 and x i-1≠1and x i-1≠n-1
6                          then return true
7        if(xt≠1)
8               then return true
9        return false
该算法通过第2行计算x0=au mod n。3到6行对结果进行t次平方，计算出an-1 mod n.
5到6行进行非平凡平方根的检测，如发现非平凡平方根则证明是合数，返回true。第7到8行为检测an-1 mod n是否为1，如果发现不为1则不满足素数an-1 mod n≡1，证明n是合数返回true,若没发现能证明n是合数的证据，则将会运行到第9行结束返回false.
    多次试验可以有效的降低错误率的发生。例如：当a=2时561是伪素数，他将被当做素数处理。而在a=7的情况下，a560≡241(mod 561)因此a=7可以证明561为合数。
伪代码：
 Miller-Rabin(n,s)
1for i=1 to s
2   do a=RANDOM(1,n-1)
3        if WITNESS (a,n)
4             the return composite//确定为合数
5 return prime
第1到4行进行s次实验，取a为1到n-1之间的随机数。第三行进行判断是否存在一个值能证明n是合数，如果返回值为true说明找到了n为合数定的证据，n必然是合数。返回false找不到,则说明n极大可能是一个素数。
Miller Rabin是一个运气算法。他出错的概率与你选择的s的大小以及随机数a取到的值有关。只有当运气太差，在主循环s次迭代中，每一次都没能发现n为合数的证据时，才会出错，每次都错过发现证据的概率至多为2-s，在实际运行中出错的几率是相当低的。
附：

int witness(int a, int n)
{
　　int x, d=1, i = ceil(log(n - 1.0) / log(2.0)) - 1;
　　for ( ; i >= 0; i--) {
　　　　x = d; d = (d * d) % n;
　　　　if (d==1 && x!=1 && x!=n-1) return 1;
　　　　if (((n-1) & (1<<i)) > 0) d = (d * a) % n;
　　}
　　return (d == 1 ? 0 : 1);
}
int miller(int n, int s = 50)
{
　　if (n == 2) return 1;
　　if ((n % 2) == 0) return 0;
　　int j, a;
　　for (j = 0; j < s; j++) {
     a = rand() * (n-2) / RAND_MAX + 1;
// rand()只能随机产生[0, RAND_MAX)内的整数
// 而且这个RAND_MAX只有32768直接%n的话永远也产生不了
// [RAND-MAX, n)之间的数
     if (witness(a, n)) return 0;
   }
   return 1;
}