算法导论31.7-2 证明

最新推荐文章于 2023-07-01 21:36:38 发布

sushauai

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分类专栏：算法导论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sushauai/article/details/50410406

本文详细探讨了RSA算法中模数n的分解过程，基于欧拉定理和费马小定理推导出p和q的解析解公式。通过分析不同运算的时间复杂度，证明了在多项式时间内可以完成模n的分解。关键步骤包括确定φ(n)的可能值、找到p和q的初等解析解以及有效进行开方运算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

由ed=1(mod φ(n))，可设 ed = k*φ(n)+1，k∈Z
由e = 3，0<d<φ(n)得：0<ed<3*φ(n)
因此 0 < k*φ(n)+1 < 3*φ(n)，0<k<3，k=1或2
即 ed = φ(n)+1 或 ed = 2φ(n)+1，φ(n) = ed-1或φ(n) = 2ed-1
现已知φ(n)=(p-1)(q-1)和n=pq
可求得 p+q=n+1-φ(n)
即 p,q 是方程 x² - (n+1-φ(n)) x + n = 0的两根
可解得：p,q = ((n+1-φ(n) ± √((n+1-φ(n))²-4n)) / 2

以上计算仅涉及n, d, e的有限次