博弈论（取石子游戏）dp+分析

题目描述
给定一个有 NN 个节点的有向无环图，图中某些节点上有棋子，两名玩家交替移动棋子。

玩家每一步可将任意一颗棋子沿一条有向边移动到另一个点，无法移动者输掉游戏。

对于给定的图和棋子初始位置，双方都会采取最优的行动，询问先手必胜还是先手必败。

输入格式
第一行，三个整数 N,M,KN,M,K，NN 表示图中节点总数，MM 表示图中边的条数，KK 表示棋子的个数。

接下来 M 行，每行两个整数 X,YX,Y 表示有一条边从点 XX 出发指向点 YY。

接下来一行，KK 个空格间隔的整数，表示初始时，棋子所在的节点编号。

节点编号从 11 到 NN。

输出格式
若先手胜，输出 win，否则输出 lose。

数据范围
1≤N≤2000,1≤N≤2000,
1≤M≤6000,1≤M≤6000,
1≤K≤N1≤K≤N
输入样例：
6 8 4
2 1
2 4
1 4
1 5
4 5
1 3
3 5
3 6
1 2 4 6
输出样例：
win
这题咋没人写题解嘞 qwqqwq
SG 函数
首先定义 mexmex 函数，这是施加于一个集合的函数，返回最小的不属于这个集合的非负整数
例：mex({1,2})=0,mex({0,1})=2,mex({0,1,2,4})=3mex({1,2})=0,mex({0,1})=2,mex({0,1,2,4})=3
在一张有向无环图中，对于每个点 uu，设其所有能到的点的 SGSG 函数值集合为集合 AA，那么 uu 的 SGSG 函数值为 mex(A)mex(A)，记做 SG(u)=mex(A)SG(u)=mex(A)
例图：

例图解释：

SG(5)=mex({∅})=0SG(5)=mex({∅})=0
SG(3)=mex({SG(5)})=mex({0})=1SG(3)=mex({SG(5)})=mex({0})=1
SG(4)=mex({SG(5),SG(3)})=mex({0,1})=2SG(4)=mex({SG(5),SG(3)})=mex({0,1})=2
SG(2)=mex({SG(3)}=mex({1})=0SG(2)=mex({SG(3)}=mex({1})=0
SG(1)=mex({SG(2),SG(4)})=mex({0,2})=1SG(1)=mex({SG(2),SG(4)})=mex({0,2})=1
那么 SGSG 函数的定义说完了，这题和 SGSG 函数又有什么关系呢？
下面先说本题做法，再证明该方法正确性。

做法：求出每个棋子所在的点的 SGSG 函数值，将所有值异或起来。若异或值不为 00，则输出win，否则输出lose

证明：
首先，由于这是一张有向无环图，所以游戏最后一定会结束，也就是说每个棋子最后都会移动到一个点上，且该点没有任何能到达的点。
那么根据定义，结束状态的所有点的 SGSG 函数值异或起来为 00，做法对于结束状态可行。
所以接下来，只要证明出

任何一种每个棋子所在点的 SGSG 函数值异或起来非 00 的情况，一定能通过一次移动棋子，到达一个 每个棋子所在点的 SGSG 函数值异或起来为 00 的情况
任何一种每个棋子所在点的 SGSG 函数值异或起来为 00 的情况，一定不能通过一次移动棋子，到达一个每个棋子所在点的 SGSG 函数值异或起来为 00 的情况
那么做法就是对的

证明 1：
设每个棋子所在点的 SGSG 函数值分别为 a1,a2,⋯,ana1,a2,⋯,an
设 x=a1 XOR a2 XOR ⋯ XOR anx=a1 XOR a2 XOR ⋯ XOR an，设 xx 的最高位为第 kk 位，那么在 a1,a2,⋯,ana1,a2,⋯,an 中，一定有一个值的第 kk 位为 11
设该值为 aiai，那么由于 xx 的第 kk 位和 aiai 的第 kk 位都是 11，且第 kk 位是 xx 的最高位，所以 ai XOR xai XOR x 一定小于 aiai
又因为 aiai 是其中一个棋子所在点的 SGSG 函数值，那么根据 SGSG 函数值的定义，该点能到达的所有点中，一定存在一个点的 SGSG 函数值为 ai XOR xai XOR x
那么我们就可以将该点上的棋子，移到一个 SGSG 函数值为 ai XOR xai XOR x 的点上去
移完之