求解逆元

首先说下逆元的意思
若存在$ax≡1(mod$ $p)$，那么可以成 x 为 a 的逆
模 p 意义下，一个数 a 如果有逆元 x ，那么除以 a 相当于乘以 x
那么逆元可以用来做什么呢
有的题目中想要求$\frac{a}{b}$模$M$，但是..分数模$M$意义就有了不同，那么就可以通过逆元来计算

下面说几种求逆元的方法
1. 扩展欧几里得
$ax≡1(mod$ $p)$ 相当于$ax=1+py$，也就是$ax-py=1(mod$ $p)$
注：这种算法要求 gcd(a，p)=1，否则则没有逆元

例如 hdu1576

#include <cstdio>
#define M 9973
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){x=1,y=0;return a;}
    int c=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return c;
}
int main(){
    int T,a,b,x,y;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        exgcd(b,M,x,y);
        x=(x*a%M+M)%M;
        printf("%d\n",x);
    }
    return 0; 
} 

2.费马小定理
费马小定理是说 $a^{p-1} ≡1(mod$ $p)$ $（p$为素数，$gcd(a,p)=1）$
因此 $a\times a^{p-2}≡1(mod$ $p)$
$a^{p-2}$也就是a得逆元
求$a^{p-2}$就可以用快速幂等方法啦

例如 hdu1576

#include <cstdio>
#define M 9973
int T,a,b;
int pow(int x,int y){
    int t=1;
    while(y){
        if(y&1) t=t*x%M;
        x=x*x%M;y>>=1;
    }return t;
}
int main(){
    freopen("hdu1576.in","r",stdin);
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        b=b%M;
        printf("%d\n",a*pow(b,M-2)%M);
    }
    return 0; 
} 

3.逆元打表（递推）
我们定义$inv[i]$为模$M$（M为质数） 意义下$i$的逆元，那么$inv[i]=(M-\frac{M}{i})\times inv[M$%$i]$%$M$
怎么证明呢
我们假设

$$t=\frac{M}{i}，k=\mod i$$
那么

$$k+t*i≡0(\mod M)$$
$$\Rightarrow k≡-t*i(\mod M)$$
左右同除$i*k$ $$\Rightarrow \frac{1}{i}≡-\frac{t}{k}(\mod M)$$
$$\Rightarrow inv[i]=-t\times inv[k]$$
因此 $$inv[i]=(M-\frac{M}{i})\times inv[M\mod i]\mod M$$

代码如下

inv[1] = 1;
for(i=2;i<M;++i) inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M;

4.欧拉定理
欧拉定理是说：若 a 与 n 互质，则$a^{\phi(n)}≡1(mod$ $n)$
由此可以看出..欧拉定理相当于费马小定理的推广吧（因为$\phi(n)=n-1$嘛）

$\phi(n)$就是欧拉函数，表示不超过n，且与n互质的正整数的个数
例如：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\phi(n)$	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4

有两个引理

• 引理1
  
  • （1）如果n为素数，则$\phi(n)=n-1$
  • （2）如果n为素数p的m次方，则$\phi(n)=\phi(p^m)=(p-1)\times p^{m-1}$
  • （3）如果n为任意两个互质的数a、b的积，则$\phi(n)=\phi(a\times b)=\phi(a)\times \phi(b)$
• 引理2
  
  • $n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times p_2^{a_2}\cdots\times p_k^{a_k}$（其中$p_i$为质数），则$\phi(n)=n\times(1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})\cdots\times(1-\frac{1}{p_k})$

当然还要许多结论qaq，这里就先说一个跟求欧拉函数有关的吧~
若p为素数，p为x约数，则

$$\phi(p*x)=\phi(x)*p$$ ；
若p不为x约数，则 $$\phi(p*x)=\phi(x)*\phi(p)=\phi(x)*(p-1)$$ ;
证明在这里就先不说了…（有时间再填坑吧~）

例题：hdu2824
求一段区间欧拉函数值

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 3300000
int prime[N],isprime[N],phi[N],tot=0,a,b;
void euler(){
    memset(isprime,true,sizeof(prime));isprime[0]=isprime[1]=false;
    for(int i=2;i<=3000000;i++){
        if(isprime[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;i*prime[j]<=3000000;j++){
            int k=i*prime[j];
            isprime[k]=false;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[k]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }else phi[k]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int main(){
    euler();
    while(scanf("%d%d",&a,&b)>0){
        long long ans=0;
        for(int i=a;i<=b;i++) ans+=(long long)phi[i];
        printf("%lld\n",ans);
    } 
    return 0;
} 

5.特殊情况
条件b|a

$$\frac{a}{b}≡d(\mod p)$$
那么 $$\frac{a}{b}=d+px$$
$$\Rightarrow a=bd+bpx$$
$$\Rightarrow a≡bd(\mod bp)$$
$$\Rightarrow \frac{a (mod -bp)}{b}=d$$
这个看起来就很有趣了~ 不过..我还没有试过【捂脸】