Xor Sum AtCoder - 2272

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本文探讨了一道复杂的DP题目，通过分析a+b与a^b的关系，将问题转化为寻找a+b≤n中ab的组合数量。采用递归方式，结合二进制理解，给出了详细的解析与代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Time limit : 2sec / Memory limit : 256MB

Score : 600 points

Problem Statement

You are given a positive integer N. Find the number of the pairs of integers u and v (0≦u,v≦N)such that there exist two non-negative integers a and b satisfying a xor b=u and a+b=v. Here, xor denotes the bitwise exclusive OR. Since it can be extremely large, compute the answer modulo 109+7.

Constraints

1≦N≦1018

Input

The input is given from Standard Input in the following format:

Output

Print the number of the possible pairs of integers u and v, modulo 109+7.

Sample Input 1

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Sample Output 1

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The five possible pairs of u and v are:

u=0,v=0 (Let a=0,b=0, then 0 xor 0=0, 0+0=0.)
u=0,v=2 (Let a=1,b=1, then 1 xor 1=0, 1+1=2.）
u=1,v=1 (Let a=1,b=0, then 1 xor 0=1, 1+0=1.）
u=2,v=2 (Let a=2,b=0, then 2 xor 0=2, 2+0=2.）
u=3,v=3 (Let a=3,b=0, then 3 xor 0=3, 3+0=3.）

Sample Input 2

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Sample Output 2

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Sample Input 3

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1000000000000000000

Sample Output 3

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787014179

题目链接

题目大意：给出一个数字n，寻找两个数字uv，使得对于0<=u,v<=n，有a+b=u,a^b=v，求uv的对数

题解：是一道dp题，由于不是很擅长dp加上逻辑能力欠缺，看这道题看了大半天……是的，我看了大半天题解才看懂。

由于a+b = (a&b)<<1 + a^b，故可知a^b定然小于a+b，故本题可以化为寻找对于a+b＜=n中ab的个数。

首先可以使用暴力的手段得知，当n=0的时候，答案为1，n=1的时候，答案为2。对于a与b（化作二进制来看），两者的末位和有0,1,2三种情况，设a+b=x，令a = a1*2+a2, b = b1*2+b2，a2+b2即为两者的末位和，又有x<=n，故a1+a2<=(n-a1-a2)/2，可以得出递推式 dp[x] = dp[x/2] + dp[(x-1)/2] + dp[(x-2)/2];

代码如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<sstream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
const long long maxn = 1e18+7;
const int mod = 1e9+7;
map<long long, long long>dp;
long long func(long long x)
{
    if(dp[x])return dp[x];
    return dp[x] = (func(x/2) + func((x-1)/2) + func((x-2)/2))%mod;
}

int main()
{
    long long n;
    cin >> n;
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 2;
    cout << func(n) << endl;
    return 0;
}