青蛙跳台阶问题-Java实现

本题来源：力扣（LeetCode）中的剑指offer
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：
输入：n = 2
输出：2

示例 2：
输入：n = 7
输出：21
提示：
0 <= n <= 100，n=0时，输出1

解题思路

1、用斐波那契数列实现
根据台阶数不同，先计算出几组值（只要关于计算问题，在拿着题没思路时，就可以先计算出一些结果，看看是否有规律可循）

台阶数n	可能跳法
0	1
1	1
2	2
3	3
4	5
5	8
6	13
7	21

观察规律，可以发现类似与斐波那契数列，只不过F(0)=1，而斐波那契数列的F(0)=0，那么，就可以实现方式如下

class Solution {
    public int numWays(int num) {
        if(num < 2){
            return 1;
        }else{
            Integer beforeOne=1;
            Integer beforeTwo = 1;
            Integer result= 0;
            for(int i=1;i<num;i++){
                result= beforeOne + beforeTwo;
                while (result>1000000007){// 取模运算时间比做减法多，所以效率考虑，用减法
                    result= result-1000000007;
                }
                beforeTwo = beforeOne;
                beforeOne = result;
            }
            return result;
        }
    }
}

2、排列组合解法(当n>38会存在值越界的情况)
台阶数n，可以看作是2的个数和1的个数，求和得到，然后是2和1出现的位置不同而已，
注意点
1、当2的个数确定时，1的个数也确定了，即2的出现的位置定时，1的位置也确定了，不要计算重复了
2、台阶数确定了时，2的个数需要从最大值递减到0，此时1的个数对应增加，

台阶数n	2的个数k	1的个数j	结果sum（跳法）
1	0	1	1
2	1，0	0，2	1+1=2
3	1，0	1，3	2+1=3
4	2， 1，0	0，2，4	1+3+1=5
5	2， 1，0	1，3，5	3+4+1=8

可以看出，符合排列组合规律，当台阶数为n时，结果sum等于C(k+j,k)的和，即
sum(n) = ∑C(j+k,k)
其中，2k + j = n
代码如下

class Solution {
    public int numWays(int num) {
        if(num == 0){
            return 1;
        }else{
            int count = num/2;
            long ways = 0;
            int m,n;
            for(int i=0;i<=count;i++){
                m = count-i;
                n = num - m;
                ways += combination(m,n);
                while( ways > 1000000007){
                    ways -= 1000000007;
                }
            }
            return (int)ways;
        }
    }

    private long combination(int m,int n){
        if(m==0 || m==n){
            return 1;
        }else{
            int count = m;
            long a = m;
            long b = n;
            while(--count != 0){
                a*= --m;
                b*= --n;
            }
            return b/a;
        }
    }
}

注：
排列：
A(n,m)=n×（n-1）…（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标,m为上标,以下同)
组合：
C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）!
例如：
A(4,2)=4!/2!=43=12
C(4,2)=4!/(2!2!)=43/(21)=6

1、
基本类型：short 二进制位数：16
包装类：java.lang.Short
最小值：Short.MIN_VALUE=-32768 （-2的15此方）
最大值：Short.MAX_VALUE=32767 （2的15次方-1）
2、
基本类型：int 二进制位数：32
包装类：java.lang.Integer
最小值：Integer.MIN_VALUE= -2147483648 （-2的31次方）
最大值：Integer.MAX_VALUE= 2147483647 （2的31次方-1）
3、
基本类型：long 二进制位数：64
包装类：java.lang.Long
最小值：Long.MIN_VALUE=-9223372036854775808 （-2的63次方）
最大值：Long.MAX_VALUE=9223372036854775807 （2的63次方-1）
4、
基本类型：float 二进制位数：32
包装类：java.lang.Float
最小值：Float.MIN_VALUE=1.4E-45 （2的-149次方）
最大值：Float.MAX_VALUE=3.4028235E38 （2的128次方-1）
5、
基本类型：double 二进制位数：64
包装类：java.lang.Double
最小值：Double.MIN_VALUE=4.9E-324 （2的-1074次方）
最大值：Double.MAX_VALUE=1.7976931348623157E308 （2的1024次方-1）

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