本题来源:力扣(LeetCode)中的剑指offer
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7(1000000007),如计算初始结果为:1000000008,请返回 1。
示例 1:
输入:n = 2
输出:2
示例 2:
输入:n = 7
输出:21
提示:
0 <= n <= 100,n=0时,输出1
解题思路
1、用斐波那契数列实现
根据台阶数不同,先计算出几组值(只要关于计算问题,在拿着题没思路时,就可以先计算出一些结果,看看是否有规律可循)
台阶数n | 可能跳法 |
---|---|
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 3 |
4 | 5 |
5 | 8 |
6 | 13 |
7 | 21 |
观察规律,可以发现类似与斐波那契数列,只不过F(0)=1,而斐波那契数列的F(0)=0,那么,就可以实现方式如下
class Solution {
public int numWays(int num) {
if(num < 2){
return 1;
}else{
Integer beforeOne=1;
Integer beforeTwo = 1;
Integer result= 0;
for(int i=1;i<num;i++){
result= beforeOne + beforeTwo;
while (result>1000000007){// 取模运算时间比做减法多,所以效率考虑,用减法
result= result-1000000007;
}
beforeTwo = beforeOne;
beforeOne = result;
}
return result;
}
}
}
2、排列组合解法(当n>38会存在值越界的情况)
台阶数n,可以看作是2的个数和1的个数,求和得到,然后是2和1出现的位置不同而已,
注意点
1、当2的个数确定时,1的个数也确定了,即2的出现的位置定时,1的位置也确定了,不要计算重复了
2、台阶数确定了时,2的个数需要从最大值递减到0,此时1的个数对应增加,
台阶数n | 2的个数k | 1的个数j | 结果sum(跳法) |
---|---|---|---|
1 | 0 | 1 | 1 |
2 | 1,0 | 0,2 | 1+1=2 |
3 | 1,0 | 1,3 | 2+1=3 |
4 | 2, 1,0 | 0,2,4 | 1+3+1=5 |
5 | 2, 1,0 | 1,3,5 | 3+4+1=8 |
可以看出,符合排列组合规律,当台阶数为n时,结果sum等于C(k+j,k)的和,即
sum(n) = ∑C(j+k,k)
其中,2k + j = n
代码如下
class Solution {
public int numWays(int num) {
if(num == 0){
return 1;
}else{
int count = num/2;
long ways = 0;
int m,n;
for(int i=0;i<=count;i++){
m = count-i;
n = num - m;
ways += combination(m,n);
while( ways > 1000000007){
ways -= 1000000007;
}
}
return (int)ways;
}
}
private long combination(int m,int n){
if(m==0 || m==n){
return 1;
}else{
int count = m;
long a = m;
long b = n;
while(--count != 0){
a*= --m;
b*= --n;
}
return b/a;
}
}
}
注:
排列:
A(n,m)=n×(n-1)…(n-m+1)=n!/(n-m)!(n为下标,m为上标,以下同)
组合:
C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!(n-m)!
例如:
A(4,2)=4!/2!=43=12
C(4,2)=4!/(2!2!)=43/(21)=6
1、
基本类型:short 二进制位数:16
包装类:java.lang.Short
最小值:Short.MIN_VALUE=-32768 (-2的15此方)
最大值:Short.MAX_VALUE=32767 (2的15次方-1)
2、
基本类型:int 二进制位数:32
包装类:java.lang.Integer
最小值:Integer.MIN_VALUE= -2147483648 (-2的31次方)
最大值:Integer.MAX_VALUE= 2147483647 (2的31次方-1)
3、
基本类型:long 二进制位数:64
包装类:java.lang.Long
最小值:Long.MIN_VALUE=-9223372036854775808 (-2的63次方)
最大值:Long.MAX_VALUE=9223372036854775807 (2的63次方-1)
4、
基本类型:float 二进制位数:32
包装类:java.lang.Float
最小值:Float.MIN_VALUE=1.4E-45 (2的-149次方)
最大值:Float.MAX_VALUE=3.4028235E38 (2的128次方-1)
5、
基本类型:double 二进制位数:64
包装类:java.lang.Double
最小值:Double.MIN_VALUE=4.9E-324 (2的-1074次方)
最大值:Double.MAX_VALUE=1.7976931348623157E308 (2的1024次方-1)
来源:力扣(LeetCode)
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