青蛙跳台阶问题

最新推荐文章于 2023-04-07 21:08:54 发布

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分类专栏：数据结构与算法文章标签：数学递归青蛙跳台阶剑指offer 算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/a837199685/article/details/44926197

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题目：一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上2 级。求该青蛙跳上一个n 级的台阶总共有多少种跳法。

我的思路：最开始我的思路是把这个看成是一个数学问题，n=i*1+k*2先把所有可能满足这个公式的i和k求出来。然后在对i和k做排列组合。很明显i的范围应该是0<i<=n,所以我们已i开始迭代。下面贴上代码吧。把注释都写上！

public int JumpFloor(int target) {
		int step = 0;
		for (int i = 0; i <= target; i++) {

			if (0 == (target - i) % 2) {// 只要满足这个条件就是符合的组合
				// 只要能够符合的都是可以的情况

				// I代表的是跳一步的次数，如果I=0或者I=target这不可能出现多种排列的情况
				if (i == 0 || i == target) {
					step++;// 只有一种排列情况，要么全是1，要么全是2
				} else {
					/*
					 * 出现全排列的情况。利用排列组合的思想算出这一次有多少种走法
					 */
					int oneNum = i;// 为1的有i个
					int twoNums = (target - i) / 2;// 为2的有这么多个
					/**
					 * 全排列个数AII/AKK*AJJ（i表示中共的1和2的个数，k表示1的个数，
					 * j表示2的个数，simpleCircle是 算一个数的阶乘）
					 */
					int stepCount = simpleCircle(oneNum + twoNums)
							/ (simpleCircle(oneNum) * simpleCircle(twoNums));
					step += stepCount;

				}

			}

		}

		return step;
	}

	public int simpleCircle(int num) {// 简单的循环计算的阶乘
		int sum = 1;
		if (num < 0) {// 判断传入数是否为负数
			throw new IllegalArgumentException("必须为正整数!");// 抛出不合理参数异常
		}
		for (int i = 1; i <= num; i++) {// 循环num
			sum *= i;// 每循环一次进行乘法运算
		}

		return sum;// 返回阶乘的值
	}

小结：笔者这个解法虽然感觉思路比较清晰，但是感觉不是很巧妙！（其实数字算出来你会发现其实是一个fibo数列）没有亮点，但是这种解法当2变成其他数的时候是通用的

下面我们来看看网上大家的解法（这是一道剑指offer上面的题目），首先是结合Fibonacci数列来解决问题

分析：1）当n = 1，只有1中跳法；当n = 2时，有两种跳法；当n = 3 时，有3种跳法；当n = 4时，有5种跳法；当n = 5时，有8种跳法；.......

规律类似于Fibonacci数列

2）

如果n=1，总步数f(n)=1；如果n=2，总步数f(n)=2。

另一方面，当n>=3，当前还剩的步数f(n)，如果接下去跳一步，那么还剩下的步数是f(n-1)；如果接下去跳两步，那么还剩下的步数是f(n-2)，故：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

int Fib(int n)
{//典型的fibo数列方法
	if (n <= 0)
	{
		cout << "error!" << endl;
		return -1;
	}

	if (1 == n)
	{
		return 1;
	}
	else if (2 == n)
	{
		return 2;
	}
	else
	{
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
	}
}

------------------------------------- ----------分割线--------------------- ------------------------------- ---------------------------

下面是这道题的变化题目，非常不错！

问：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2 级……它也可以跳上n 级，此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

用Fib(n)表示青蛙跳上n阶台阶的跳法数，青蛙一次性跳上n阶台阶的跳法数1(n阶跳)，设定Fib(0) = 1；

当n = 1 时，只有一种跳法，即1阶跳：Fib(1) = 1;

当n = 2 时，有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：Fib(2) = Fib(1) + Fib(0) = 2;

当n = 3 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(3-1)中跳法；第一次跳出二阶后，后面还有Fib(3-2)中跳法；第一次跳出三阶后，后面还有Fib(3-3)中跳法

Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+Fib(0)=4;

当n = n 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(n-1)中跳法；第一次跳出二阶后，后面还有Fib(n-2)中跳法..........................第一次跳出n阶后, 后面还有 Fib(n-n)中跳法.

Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+..........+Fib(n-n)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-1)

又因为Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-2)

两式相减得：Fib(n)-Fib(n-1)=Fib(n-1) =====》 Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 2

递归等式如下：

】

代码特简单，但是分析就不是这么简单的事情了：

public int jumpN(int n) {
		if (n == 0 || n == 1) {
			return 1;
		}

		return 2 * jumpN(n - 1);

	}

其他想法目前还没有想出来，先贴着吧。

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