泛函，变分，欧拉-拉格朗日方程

最新推荐文章于 2024-12-20 18:07:17 发布
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u010138758/article/details/79121137
本文探讨了希尔伯特空间和泛函分析的基础概念，如距离、范数、内积以及完备性。通过分析，解释了欧拉-拉格朗日方程在变分法中的应用，并强调了泛函分析在量子力学、数学物理等领域的关键作用。同时，介绍了算子和巴拿赫空间的几何结构在现代数学研究中的重要性。

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∫f(Z)p(Z)dZ ∫ f ( Z ) p ( Z ) d Z 如何理解？假设 Z={ z1,z2,...,zn} Z = { z 1 , z 2 , . . . , z n } 。在概率分布里面标量和向量 Z Z 都是一个意思，没什么特殊的。 p ( Z ) 的本质是一个实数，那么 p(Z)=p(z1,z2,...,

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变分法-核心数学02-欧拉-拉格朗日方程的完整推导02：欧拉-拉格朗日方程的完整推导模版
u013250861的博客
07-27 38
考虑泛函： I[y]=∫abF(x,y,y′)dxI[y] = \int_a^b F(x, y, y') dxI[y]=∫ab​F(x,y,y′)dx其中：固定边界条件： y(a)=ya,y(b)=yby(a) = y_a, \quad y(b) = y_by(a)=ya​,y(b)=yb​其中 yay_aya​ 和 yby_byb​ 是给定的常数。光滑性要求：目标：寻找函数 y∗(x)y^*(x)y∗(x) 使得泛函 I[y]I[y]I[y] 取极值。设 y∗(x)y^*(x)y∗(x) 是使 I[y]I
变分法-核心数学02-欧拉-拉格朗日方程的完整推导01：欧拉-拉格朗日方程的解【求解的是函数y*(x)，使得I[y*]是所有满足边界条件的函数中的极值】
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u013250861的博客
07-27 28
标准变分问题的完整描述问题的数学表述给定泛函： I[y]=∫abF(x,y,y′)dxI[y] = \int_a^b F(x, y, y') dxI[y]=∫ab​F(x,y,y′)dx每个符号的详细含义：I[y]I[y]I[y]：F(x,y,y′)F(x, y, y')F(x,y,y′)：积分区间 [a,b][a, b][a,b]：边界条件的详细说明固定边界条件： y(a)=ya,y(b)=yby(a) = y_a, \quad y(b) = y_by(a)=ya​,y(b)=yb​其中 yay_aya​
2.动力学分析-拉格朗日法
qq_44989204的博客
08-05 7470
2.1.1机器人动能和势能的求解 拉格朗日法利用系统能量的微分求出力和力矩，适用于较为复杂下的系统，比如六关节机器人。 拉格朗日函数为： L=K-P 其中K是系统动能，P是系统势能，L是拉函数。 L对直线位移、角位移和时间求微分可得： 其中Fi是所有外力和，Ti是所有外力矩和，xi直线位移，θi角位移，t时间。 动能K的求解。 对机器人连杆来说，连杆上任意一点的速度vi为该点位置对时间的求导。 该点的动能dKi为。 该连杆的动能Ki为。 机器人总动能K为。 势能P的求解。 其中，gT是重力矩阵
泛函、变分与欧拉-拉格朗日方程
Hello，Sunpro!
06-03 3676
文章目录泛函、变分与欧拉-拉格朗日方程1. 泛函2. 变分3. 欧拉-拉格朗日方程4. 两点之间直线最短的证明参考资料 泛函、变分与欧拉-拉格朗日方程 1. 泛函 设CCC是一个由函数组成的集合，对于CCC中的任何一个元素y(x)y(x)y(x)，数集BBB中都有一个元素FFF与之对应，称F是y(x)y(x)y(x)的泛函（functional），记作F=F[y(x)]F=F[y(x)]F=F[y(x)]。 一般情况下，泛函式常用积分形式表示： J[y(x)]=∫x0x1F(x,y,y′)dxJ[y(x)]
【学习体会】泛函 & 欧拉-拉格朗日方程 & 两点之间直线最短
LeonJin的博客
01-25 3427
泛函 泛函是函数的函数，定义域是函数集，值域是数集。也就是说，输入是函数，输出是实数。 参考：欧拉-拉格朗日方程(Euler -Lagrange equation)_qq_43217195的博客-优快云博客_欧拉-拉格朗日方程 简单泛函 泛函的极值&欧拉-拉格朗日方程 两点之间直线最短 可以看出，初等数学为高等数学的推导提供了依据，高等数学反过来又能证明初等数学。 参考视频： 为什么两点之间直线段距离最短？谈谈泛函与变分法...
泛函与变分初步（Euler-lagrange条件）
phymat.nico的专栏
11-16 329
https://shenchunxu.blog.youkuaiyun.com/article/details/54808173
变分法
my blogs include programming, math, physics.回首过去，放眼未来。
03-08 3587
变分法 弦平衡方程的导出，建立起横向位移u，张力T，外力f之间的关系： 方一、根据受力平衡导出 推导时用的技巧或假设： 1.泰勒展开近似 同理 2. 3.小变形假设，张力均匀，即 4.方程推导中忽略二阶小量，即只要某一项带就忽略掉他。 方二、根据总势能最小导出 u是x的函数，J是u的函数，求J的min，即求极值，求泛函的极值即变分问题 v为试探函数，此时将问题从对泛函求极值转化为对函数求极值，即J(u(x))求极值转化为J(λ)，这种方法为变分法 推导时用到的技巧： 1、 2、泰勒展...
物理学基于欧拉-拉格朗日方程的物理问题转化为泛函极值问题求解：最优路径分析与摆线求解方法总结文档的核心内容
06-06
基于能量守恒定律，构造了时间泛函，并引入欧拉-拉格朗日方程作为求解泛函极值的工具。接着，通过计算偏导数，构建并化简欧拉-拉格朗日方程，利用贝尔特拉米恒等式进一步简化方程。最后，通过参数化变量和积分求解，...
偏微分方程变分法的6个应用：从泛函到欧拉-拉格朗日方程
[偏微分方程变分法的6个应用：从泛函到欧拉-拉格朗日方程](https://img-blog.csdnimg.cn/50a0db41673544ffb8ab483a0818d038.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1...
Calculus of Variations：变分计算
weixin_45363113的博客
07-31 575
functional）指以函数构成的向量空间为定义域，实数为值域为的“函数”，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。函数代表了数到数的映射，而泛函代表了函数到数的映射，即给定一个函数，泛函能够得到一个数。当然也满足边界条件，也代表两点之间的一条路径，并且在确定的。不等于0，被积函数就是任意的，无法保证积分恒为0。下，其函数表达式只与ϵ有关。给定后是一个固定的函数。,我们首先来计算在任意确定的。当泛函取极值时，函数。为了要满足上面的条件。...
变分法（calculus of variantions ）
一个菜鸟
03-08 1464
在我们的实际应用中，尝尝需要求取某一个函数的极值。例如给定函数y=f(x)，我们看作输入为x，返回结果为y。同样的我们可以定义函数F(y)作为输入为y，返回值为F的函数，其中y同时也是关于x的函数。例如在机器学习中广泛使用的熵概念H(x)，H(x)是关于x分布p(x)的函数，因此H(x)可以等价的写为H(p)。      在常规微积分中，一个普遍的问题就是寻找一个x是f(x)取得极大值或者是极小
什么是泛函分析？
bluenight专栏
11-06 1万+
-------------------------------------------------------------------------------- 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法
泛函分析（一）
weixin_48878618的博客
09-28 1299
因为高维空间无法可视化，所以引入两个点，然后通过这两个点的距离来给我们一些高维世界的空间感，所以泛函分析中大量的空间定义都是需要两个点的，利用点与点的距离来建立对高维空间的认知，机器学习中的kernel function（核函数）其实就是这一思路的一个比较出色的应用。一般而言，线性回归在训练所得到的最优解，误差也并不为0，此时泛函从升维的角度解决最优解问题，让我们不再考虑输入数据的最优化处理，而是函数空间甚至抽象空间中考虑问题。：对偶空间是线性空间的一个重要概念，它对应于线性空间的所有线性泛函的集合。
拉格朗日方程 在外骨骼机器人中 如何求关节力矩
weixin_30360497的博客
04-25 919
转载于:https://www.cnblogs.com/dotiger/p/8947079.html
【深入浅出】机器人动力学-拉格朗日方程实例
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HB不只是铅笔
05-06 1万+
通过两个例子，尽可能描述清楚拉格朗日动力学方程。
关于向量值函数方程变分的一点注记
LSEC小陆的博客
08-03 1197
一般来说，我们喜欢把梯度定义为列向量，一列一列地来，但是上述的关于向量值函数的梯度，却是对每个分量求梯度，然后按行排的，这是反直觉的，所以导致了这个地方的。有人说，自己做的都是标量解函数的偏微分方程变分，当遇到解函数是向量值函数时，就不知道有限元空间怎么取，变分也不知道怎么做了。再 一个对于矩阵的散度和梯度算子，是支持分块矩阵的操作的。有了以上的准备，我们举个简单的例子来看向量值解的方程的变分，头上加转置变回原来的定义方式，就得到了最开始的上述的表达。的地方，是可以随意进出梯度和散度算子的，即。...
变分法求薛定谔方程
weixin_42067800的博客
03-10 692
为了得到基态能量和波函数，我们采用变分法。接下来，我们需要计算上式的分子和分母。分别是能量和归一化条件的期望值。显然，这个试探波函数是关于。取最小值的试探波函数。为了最小化基态能量，我们需要选择使得。对称的高斯波包，其中。这个问题可以通过求解。
微分、变分、差分的区别是什么
weixin_37522117的博客
12-20 2744
微分、变分、差分的区别是什么
底层逻辑之：欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equations）&变分法（Calculus of Variations）的核心思想
学术的尽头是分享，技术的尽头是开源
12-05 2787
欧拉-拉格朗日方程、变分法是怎么来？300年前数学家是如何解决最速降线问题的？全网最细的原创：欧拉-拉格朗日方程的数学原理分析
python欧拉方程法求泛函极小值
05-05
### 3. **欧拉方程法求解泛函极小值的理论基础** 在变分学中，当试图找到某个特定的能量泛函 \( J[y] \) 的极小值时，通常会采用欧拉-拉格朗日方程作为核心工具。如果能量泛函的形式为： \[ J[y] = \int_a^b F(x, y, y') dx, \] 那么对应的欧拉-拉格朗日方程可以写成： \[ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) = 0. \] 这是一阶偏微分方程，其解提供了使泛函取得极小值的函数 \( y(x) \)[^1]。 --- ### 4. **Python 实现欧拉方程法的具体步骤** 下面展示了一个完整的 Python 示例代码，用于求数学物理中的典型泛函问题——最短路径问题（也称为测地线问题）。我们将通过数值方法近似解决这一问题，并讨论边界条件的处理方式。 #### （1）导入必要的库 ```python import numpy as np from scipy.integrate import solve_ivp import matplotlib.pyplot as plt ``` #### （2）定义目标泛函及相关量 考虑一个简单的泛函形式，例如弧长积分： \[ F(x, y, y') = \sqrt{1 + (y'(x))^2}. \] 此时，欧拉-拉格朗日方程退化为二阶常微分方程： \[ y''(x) = 0. \] 这是一个非常简单的情况，实际应用中可能涉及更复杂的非线性项。 ```python def euler_lagrange(t, Y): """ 定义欧拉-拉格朗日方程组。 参数: t : 自变量时间/空间坐标 Y : 当前状态向量 [y, dy/dt] 返回: dY_dt : 导数向量 [dy/dt, d²y/dt²] """ y, yp = Y # 此处可以根据具体问题修改右侧表达式 return [yp, 0] # 对应于 y'' = 0 的情况 ``` #### （3）设置初始条件与边界条件 对于两点边值问题，我们需要提供两个独立的信息：起点和终点的位置以及斜率约束（如果有）。如果没有显式的导数约束，默认假定自然边界条件适用[^4]。 ```python # 边界条件 a, b = 0, 1 # 积分区间的上下限 ya, yb = 0, 1 # 函数值在两端点的要求 # 将边界条件转换为初值问题所需的格式 initial_slope_guess = 1 # 假设初始猜测斜率为1 init_cond = [ya, initial_slope_guess] ``` #### （4）求解微分方程 使用 SciPy 中内置的 ODE 求解器 `solve_ivp` 来获得数值解。 ```python sol = solve_ivp(euler_lagrange, [a, b], init_cond, dense_output=True) # 计算离散采样的结果 t_vals = np.linspace(a, b, 500) y_vals = sol.sol(t_vals)[0] ``` #### （5）绘制图形可视化 最后，我们可以画图观察所得曲线是否符合预期。 ```python plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.plot(t_vals, y_vals, label="Solution Curve", color='blue') plt.scatter([a, b], [ya, yb], color="red", zorder=5, label="Boundary Points") # 显示边界点 plt.title("Euler-Lagrange Solution for Functional Minimization") plt.xlabel("x-axis") plt.ylabel("y-axis") plt.legend() plt.grid(True) plt.show() ``` 以上就是整个流程的一个简化版本演示[^3]。 --- ###
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