Leetcode62. 不同路径

Leetcode62. 不同路径

题目：
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？
示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
 - 向右 -> 向右 -> 向下
 - 向右 -> 向下 -> 向右
 - 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

题解：

• 方案一：动态规划
  我们令 $dp[i][j]$ 是到达 i, j 最多路径
  动态方程：$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$

• 方案二：优化
  我们在二维数组推导的时发现，$dp[i][j]$的值来自于$dp[i-1][j]$和$dp[i][j-1]$。
  也就是只需要上一行的值就可以了，上上一行的并不需要了，所以这里可以用滚动数组的方式优化一下空间。

动态方程：$dp[j]=dp[j]+dp[j-1]$
java代码：

 /**
     * dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]
     *
     * @param m
     * @param n
     * @return
     */
    public static int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }

    /**
     * 只保留当前行信息
     * dp[j] = dp[j] + dp[j - 1]
     *
     * @param m
     * @param n
     * @return
     */
    public static int uniquePaths2(int m, int n) {
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
             //等式右边的 dp[j]是上一次计算后的，加上左边的dp[j-1]即为当前结果
                dp[j] = dp[j] + dp[j - 1];
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }