FFT与多项式乘法

已于 2024-09-26 18:48:28 修改
阅读量1.5k 收藏 16
点赞数 29
文章标签： 密码学 区块链
于 2024-09-04 17:33:47 首次发布
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sunguizhu/article/details/141860677
版权

本文参考文献：

Polynomial Multiplication (Vector Convolution) and FFT

多项式 I：拉格朗日插值与快速傅里叶变换 - 洛谷专栏

前言

通常两个多项式相乘所需的时间复杂度是 Θ(n^2)，使用FFT算法可以将多项式乘法的时间复杂度降为\Theta (nlog_2n)。

1.多项式表示方法

这节介绍两种表示多项式的方法：系数表达和点值表达。

1.3.1. 系数表达

对一个次数界为 n 的多项式  f(x) = a_{0} + a_{1}* x + ...+ a_{n-1}* x^{n-1} 而言，其系数表达是一个由系数组成的向量a = (a_{0}, a_{1}, ..., a_{n-1})  。

采用系数表达对于多项式的某些运算是很方便的。例如，对多项式 f(x) 在给定点x_{0}的求值运算就是计算 f(x_{0}) 的值。使用霍纳法则，我们可以在 Θ(n) (n-1次乘法和n-1次加法)时间复杂度内完成求值运算：

f(x_0) = a_0 + x_0(a_1+x_0(a_2+...+x_0(a_{n-2} + x_0(a_{n-1})...))

1.3.1.1多项式的运算

假设有多项式f(x)和g(x)：

f(x)的系数是 a = (a_{0}, a_{1}, ..., a_{n-1}),

 g(x)的系数是 b = (b_{0}, b_{1}, ..., b_{n-1}),

1.加法运算：

在系数表示形式下，求两个多项式的加法是很容易的。

令h(x) = f(x) + g(x)，假设h(x)的系数是 c = (c_{0}, c_{1}, ..., c_{n-1})，显然有c_i = a_i + b_i

因此计算h(x)的计算复杂度是 Θ(n) 。

2.乘法运算

令h(x) = f(x) * g(x)，则h(x) = (\sum_{i=0}^{n-1} a_{i}x_{i})*(\sum_{j=0}^{n-1} b_{j}x_{j})=\sum_{i=0}^{2n-2}(\sum_{j=0}^{i}a_jb_{i-j})*x_{i},

因此计算复杂度是 Θ(n^2) (需要进行

最低0.47元/天 解锁文章
快速傅里叶变换（FFT）及其在多项式乘法中的应用 —— 深入分析与 Python 实现
qq_52010229的博客
09-06 2040
单位根是指在复平面上均匀分布在单位圆上的点，满足 x^n = 1 的复数点。它们可以表示为：这些点的对称性和周期性使得我们可以通过分治法高效计算傅里叶变换。通过本文，我们深入探讨了如何利用快速傅里叶变换FFT进行高效的多项式乘法。我们从最基本的多项式操作出发，介绍了如何通过单位根和分治法将乘法复杂度从 O(n^2) 降低到 O(n log n)。我们还通过 Python 代码展示了 FFT 和 IFFT 的具体实现，并进行了多项式乘法的示例。FFT 在多项式乘法中的应用只是其众多用途之一。
[笔记]ACM笔记 - 利用FFT求卷积（求多项式乘法）
weixin_30932215的博客
04-06 683
卷积 给定向量：a=(a0,a1,...,an−1)，b=(b0,b1,...,bn−1) 向量和：a+b=(a0+b0,a1+b1,...,an−1+bn−1) 数量积（内积、点积）：a⋅b=a0b0+a1b1+...+an−1bn−1 卷积：a⊗b=(c0,c1,...,c2n−2)，其中ck=∑i+j=k(aibj) 例如：cn−1=a0bn−1+a1bn−2+...
语音信号处理二十一——FFT（DIT-FFT以及实现代码）
最新发布
山河君的分享博客
03-18 826
上一篇文章中，对于DFT进行了介绍，而FFT是基于DFT的一种快速算法，也是在计算机中使用的算法。而实现FFT会有两种方式，一种叫做DIT-FFT，是基于时间抽取进行实现的。另一种叫做DIF-FFT，是基于频率抽取进行实现的。本篇文章将主要介绍DIT-FFT，对它的实现思想做一个深入的解释。并且，在最后将使用C++的方式进行实现。|版本声明：山河君，未经博主允许，禁止转载在上一篇音频进阶学习二十——DFT离散傅里叶变换文章中对于DFT我们知道它的表达式是： X[k]=∑n=0N−1ej(−2πknN)x[n
多项式乘法（FFT）
热门推荐
zhouyuheng2003的博客
11-21 2万+
多项式乘法（FFT） 前言 作为一名OI选手，至今未写过fft相关的博客，真是一大遗憾，这也导致我并没有真正推过fft的所有式子 这一篇fft的博客我将详细介绍多项式乘法，易于理解，当然，一些公式会有些枯燥，如果是初学者请耐心看完哦 介绍 多项式乘法，顾名思义，首先是讲到多项式，那么什么是多项式呢？ 多项式 首先是多项式的定义，想必大家都知道(你上过初中吧)，而在这里，我们所说的多项式都是单个未知...
多项式乘法
dingxingdi的博客
08-06 948
于是我们现在要解决的问题是如何快速将一个多项式的系数表示法（也就是我们通常写出来的多项式）与点表示法互相转换。实践证明，如果用递归来实现的话，常数是非常大的，所以我们一般利用迭代来实现。元一次方程，写出系数行列式就会发现是范德蒙德行列式，由于横坐标不同，所以行列式的值不为。即可，这就是上文讲的傅里叶正变换（系数表示法转化为点表示法）点表示法转换为系数表示法：设我们现在已经知道了。个特殊点上下功夫，我们取复数域上的单位根。这个性质叫做多项式的点表示法。这就是点表示法的好处，时间复杂度从。
FFT多项式乘法学习笔记
Tag_king的专栏
06-03 3903
其实我不知道我是否真的理解了FFT，但是我会用FFT优化多项式乘法了QAQ。。 （以下大多摘自算导 前置知识 1. 多项式   在一个代数域F上，关于变量x的多项式定义为形式和形式表示的函数A(x)=∑j=0n−1ajxj，其中a0…an−1为多项式各项的系数 A(x)=\sum_{j=0}^{n-1}a_jx^j，其中a0…an-1为多项式各项的系数 2. 多项式的次数界   若多项式有非
FFT加速多项式乘法C语言版（基2FFT）
great978的博客
10-26 662
本文代码中FFT使用递归版本实现 FFT加速多项式乘法原理不多说了，直接贴代码如下： 在vs2017上测试成功 #include "pch.h" #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include "stdlib.h" #include "math.h" #include "stdio.h" #define N 8 #define MAXN 100 #d...
ifft实现代码matlab-Polynomial_Multiplication:FIT算法的基于FFT的多项式乘法课程
05-28
在这个特定的上下文中，"ifft实现代码matlab-Polynomial_Multiplication:FIT算法的基于FFT的多项式乘法课程"指的是使用傅里叶变换（FFT）来加速多项式乘法的过程，这是一种名为快速傅里叶变换（FFT）算法的应用。...
基于FFT的多项式乘法MATLAB实现教程
与标准的FFT算法不同，FIT算法能够更加有效地处理整数系数的多项式乘法，因为其在某些情况下可以避免浮点运算导致的误差累积。FIT算法通常用于密码学和计算机代数系统中，以保证计算的精确性。 ### 系统开源 标签...
FFT应用于多项式乘法
张小艾博客
10-24 1228
前言：花了一个上午，翻阅了算法导论和数篇博客来阅读这一块儿的知识，总算是弄明白了一个大概。学习就是一个自我总结的过程，知识呀，它不能只进不出。所以想自己写一篇博客来记录我这一上午的学习成果，尽量用最通俗易懂的语言和方法，对这一块的内容做一个自我论述。私以为既然都是IT民工，一些数学方面的基础知识我就不在博客里面提及了。但请一定要仔细阅读，我尽我所能将关键的地方阐述的清楚点。话不多说，下面就让我们...
多项式乘法快速算法FFT
05-18
多项式的快速算法。用快速傅里叶算法进行的。复杂度为 nlogn 本文档讲解的比较清晰易懂不像其他书籍那样晦涩难懂
FFT求多项式乘积
春弦的博客
12-26 1366
而如果我们先求出若干个点的坐标（多少个点根据最后算出的会是几次多项式而定，比如A是三次多项式，B是五次多项式，算出来的C会是八次多项式，那么就需要找九个点），最后再根据这些点把多项式还原成系数表示，但是对于每个点，知道一个横坐标，需要(d+1)次计算才能知道这个点的纵坐标，总复杂度还是会达到。现在推广到d阶多项式，我们要先取n>d个点，（并且n等于2的整数次幂），我们为求解多项式乘积所选取的点就是1的n个n次方根。算出来的值，原问题变成了两个子问题，每个子问题的次数是原问题的。
从多项式相乘来看FFT
TSINGHUAJOKING
05-31 744
本文介绍视频 [**The Fast Fourier Transform (FFT): Most Ingenious Algorithm Ever?**](https://www.youtube.com/watch?v=h7apO7q16V0) 中对快速傅里叶算法（FFT）的分析， 从另外一个角度揭示出FFT快速算法的来源，顺带着吧DFT的卷积性质也进行了说明。 从这个角度来理解FFT及其背后效率的提高，比较新颖。 不过它却隐藏了利用FFT计算所得到数据频谱的物理含义， 这或许成为这个视频讲解所付出的代价
洛谷 P3803 【模板】多项式乘法（FFT）fft
liangzihao1的博客
04-12 400
题目描述给定一个n次多项式F(x)，和一个m次多项式G(x)。请求出F(x)和G(x)的卷积。输入输出格式输入格式： 第一行2个正整数n,m。接下来一行n+1个数字，从低到高表示F(x)的系数。接下来一行m+1个数字，从低到高表示G(x))的系数。输出格式： 一行n+m+1个数字，从低到高表示F(x)∗G(x)的系数。输入输出样例输入样例#1： 1 2 1 2 1 2 1 输出样例#1
多项式算法1：FFT（快速傅里叶变换）
ha_ing的博客
05-08 2834
FFT（快速傅里叶变换）算法详解
多项式乘法 快速傅里叶变换FFT
上总介的博客
06-19 1009
简要记录FFT实现原理
多项式乘法(FFT)详解
DreamlessDreams的博客
04-02 3552
本文只探讨多项式乘法(FFT)在信息学中的应用 如有错误或不明欢迎指出或提问，在此不胜感激 多项式 1. 系数表示法 一般应用最广泛的表示方式 用A(x)表示一个x-1次多项式，a[i]为xixi x^i的系数，则A(x)=∑n−10∑0n−1 \sum_0^{n-1} a[i] * xixi x^i 仅利用这种方式求多项式乘法复杂度为O(n2n2 n^2)，不够优秀 2.点...
UOJ.多项式乘法FFT
七箫.
03-07 294
UOJ#34.多项式乘法FFT题目在这里呀！嗯终于算是有点懂FFT了，可我不像其他大神那样能完完整整地讲清楚（毕竟还有一些地方还不懂qwq这个讲解挺清晰的既然…是一道模板题，那就贴上模板叭~（这里用到的是迭代法不是递归）//Suplex #include <cstdio> #include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #inc
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值