69、随机布尔树的等价类及其在加泰罗尼亚可满足性问题中的应用

随机布尔树的等价类及其在加泰罗尼亚可满足性问题中的应用

1. 引言

长期以来，来自计算机科学、数学和统计物理学等不同领域的科学家们一直在研究可满足性问题，例如 k - SAT 问题，以及与之相关的一些问题，如可满足和不可满足表达式之间的相变，或约束满足问题。经典的 3 - SAT 问题考虑特定形式的表达式，即子句的合取，而每个子句又是三个文字的析取。文字从一个与表达式大小相关的集合中选取，其中一个关键问题是判断一个大型随机表达式是否可满足。

实际上，可满足性与表达式大小和允许文字数量的比率有关。存在一个相变点，当该比率小于临界值时，随着表达式大小趋于无穷大，随机表达式可满足的概率趋于 1；反之，当比率大于临界值时，概率趋于 0。

在布尔可满足性问题的研究中，有研究通过生成函数精确描述了随机 2 - XORSAT 表达式可满足和不可满足之间的相变。还有研究从不同方向探讨了随机布尔表达式对布尔函数的完整概率分布。Lefmann 和 Savický 提出的加泰罗尼亚模型，固定有限的 k 个变量集，允许“与”和“或”两种逻辑连接词，随机选择大小为 n 的布尔表达式。他们证明了随着随机布尔表达式大小趋于无穷大，布尔函数存在极限概率分布。后来，Kozik 证明了给定函数的极限概率与其复杂度之间存在强关联，他的方法分两步：先让考虑的布尔表达式大小趋于无穷大，再让用于标记表达式的变量数量趋于无穷大。不过，该模型的一个主要问题是两个连续极限不能互换。Genitrini 和 Kozik 提出了另一个在无限变量集上构建随机布尔表达式的模型，避免了连续极限带来的偏差。

目前，将变量数量与表达式大小相关联的研究较少，且难以从现有结果中得出复杂度依赖于 n 的小函数族概率的定量结果。而在