我的OI心得（八）之 图论（七）

拓扑排序

很有用的东西（然而不是万能的）！

我们做动态规划的时候，总有这么一个原则：对于某个状态，他的最值由他的某几个较小规模的状态决定。因此如果那几个较小规模的状态都到过当前状态了（就是“更新过”），我们才能用当前状态去更新别的状态。

这个动态规划的状态和决策构成一张图，就是说，对于某个点v1，只有指向v1的所有点都被访问过之后，v1才能被访问。比如v2指向v1，那么只要v2还没被访问，v1就不允许被访问。那好，我很懒，只希望你告诉我一个点集的排列，让我挨个去访问就好了，而且符合上面的规则。拓扑排序就可以把这个排列做出来，当然，不唯一。做出来的东西我们可以叫 点的拓扑序 。

怎么做呢？通常是这样：

维护一个数组din[i]，意义是点i的入度。我做个队列，先扫一遍所有的点，把din[i]=0的点都加到队列里面去。然后依次访问队列中的点i，访问完之后把i指向的点的入度-1，这个叫“拆边”。当某点的所有入边都被拆光的时候，说明这个指向这个点的点都被访问过了，这个点就能被访问了——加入队列。把所有点做完后，我们已经进行了一遍拓扑遍历——可以把工作在遍历的时候都做掉。

代码如下：

var u{当前点},i{循环变量},n{点的总数},t1{队首指针},t2{队尾指针}:integer;

q:array[1..maxn]of integer;{队列}

din:array[1..maxn]of integer;{入度}

g:array[1..maxn,1..maxn]of boolean;{邻接矩阵存图}

flg:array[1..maxn]of boolean;{是否在队列里}

t1:=1;

t2:=0;

for i:=1 to n do flg[i]:=false;

for i:=1 to n do if din[i]=0 then begin inc(t2);q[t2]=i;end;

while t1<=t2 do

begin

u:=q[t1];

inc(t1);

{该干吗干吗}

for i:=1 to n do

if g[u,i] then

begin

dec(din[i]);

if din[i]=0 then

if not flg[i] then

begin

inc(t2);

q[t2]:=i;

end;

end;

end;

注意——显然，如果图中存在环，那在环中的点就无法放到拓扑序列中。