我的OI心得（九）之 杂项（一）

尾递归和首递归及其优化

尾递归：就是说，函数（或过程）中存在一个递归调用在最后一个语句中（非循环语句，一般是if语句）。怎么优化呢？你想想，程序在第某层的时候做到最后一条语句，发现这不是个递归么，好我递……等到递完了往回归的时候发现自己没事干——归的过程只干了一件事——退出当前层的函数。我郁闷了你何苦先下去最后再上来？不如直接把下面的东西提到上面做。什么东西呢？函数的内容啊。所以我们要回头到函数的第一样。用个大大的repeat循环把函数体套起来就好了～～但是参数要改成下一个的。

比如通常的快排是这么写的：

type arr=array[1..100]of integer;

procedure sort(l,r:integer;var a:arr);

var i,j,x:integer;

begin

i:=l;

j:=r;

x=a[(l+r)div 2];

{…}

if l<j then sort(l,j,a);

if i<r then sort(i,r,a);

end;

我们可以这么写：

procedure sort(l,r:integer;var a:arr);

var i,j,x:integer;

begin

repeat

i:=l;

j:=r;

x=a[(l+r)div 2];

{…}

if l<j then sort(l,j,a);

if i<r then l:=i else break;

until false;

end;

这样可以减少递归次数。

 

首递归：类比之，就是说函数（或过程）中存在一个递归调用在第一个语句中。有什么想法吗？有的，但没上面来得普适性强（这就是我的发现和别人的发现的区别。。==）：对于部分情景，首递归可以转化为拓扑排序。比如树状背包（要求稍微有点高，想看就看。如果真想看，请结合DD牛的《背包九讲》来看）：给一个树，每个节点都有一个“费用”和一个“价值”。只有选了某个节点，才能选该节点的子节点。现在给你一定的总费用，让你选些点，使得总价值最大。

大体思路就是对于每个物品i，求一个数组f[i,j]，表示给以i为根节点的树j的费用，所能得到的最大价值。于是当i的每个子节点都已完全更新的时候，用子节点的f[]来更新i的f[]，就能将i完全更新。我们发现这个是个首递归：对于当前节点i，不管三七二十一先更新i的子节点。递归？太浪费了。直接拓扑排序便是——从各叶子节点往上飘就是了。