我的OI心得（五）之 图论（四）

记忆化搜索

很多题目我们只要概括出好的状态并有把握能存得下，我们基本就无敌了。为什么要存呢？因为存结果这个行为是伟大的，它将我们辛辛苦苦花时间做的工作存了下来供以后调用，将一个较高复杂度（比如O(2ⁿ)）的问题的解做成可以O(1)（数组寻址可以看作常数时间）输出的程度（想想看打表！！）。当我们要反复调用这个解的时候，我们就赚了。当调用次数极多的时候，我们就赚大发了。这不仅仅在信息学中体现出价值——想想看：书！书的编纂与流传将人类几何级发展着的认识约束在了线性流逝的时间中。递归体现了代码的重用性，使得一个几何级数增长的问题能用常数长度的代码来解决，也是由于我们将代码存了下来（膜拜冯 诺依曼！！）。

记忆化搜索就是存所有状态的搜索。DFS回溯不是记忆化搜索，因为它只存了一个当前状态，然后不停地倒腾，不存在“调用之前结果”这一说。而SPFA是记忆化宽搜（反复调用d数组）。记忆化搜索最重要的就是问题的阶段性及其转化。单源最短路径问题中，阶段性体现在点上（就是编号）；用Fib[i]表示斐波纳契数列第i项，那么可以看作是阶段i。阶段的转化是记忆化搜索的关键部分。SPFA中，边就是阶段转化的理由；斐波纳契数列中，递推式Fib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2]就是阶段转化的关键。

插一段：我们来看看数学归纳法吧！无论你有没有学，你迟早要学的，这是高中课本上的。数学归纳法是这样一个描述：若n=n₀时命题p(n)为真，且{若p[k]为真，则p[k+1]为真}，则对于所有整数n>=n₀，有p(n)为真。

在循环这个问题上，有个东西叫循环不变式：若初始化的时候你处理对了，且你能保证{若进入循环的数据是对的，则出循环的数据也是对的}，则该循环是对的。这和归纳法如出一辙。再来看看记忆化搜索：若初始化是对的，阶段的转化是符合题意的，则答案是对的。

通常我们在做题的时候，是试着用合适的方式描述状态，若题目的条件能用某个状态描述下的阶段的转化来表示，就只剩下写代码了。事实上，确定合适的状态是题目的核心问题，也就是图论建模吧。一般来讲，NOIP的题目经验上习惯看他让你求什么，然后就围绕他让你求的东西寻找合适的状态。记忆化搜索中的状态某种程度上体现为数组的下标，我们可以概括为“需要分情况讨论的值”。比如现在我的状态用f[i,j]来描述的某个状态(i,j)时的最值（最值是很常见的问题！）时候，我们发现居然我们没有概括全：题目中还有一个变量k，使得f[i,j]的值受k影响。首先我们想到的是既然我们枚举了i和j，我们希望k能被i和j表示，这样这个状态就没啥问题；万一i和j无法表示k，那么我们只好把状态修改成(i,j,k)了，多加了一个维度。

(i,j,k)这只是简单的状态描述。显然maxi*maxj*maxk不会很大，否则我们存不下。这里只有3个变量。如果有n个呢？举个例子。完全图哈密尔顿路是这样一个问题：有个完全图有n个点，现在我想知道有多少种方法能从某个s点出发跑完所有点然后到某个t点。直接DFS其复杂度为O(n!)，太可怕了。比如n=20，那么要考虑2432902008176640000种情况，无法一秒出解。但是我们可以用一个数字来表示当前状态，这个数字的二进制位的第i位为1则表示第i个点被在当前路径中，而0则表示不在。这样只有1048576种状态，轻而易举。这样算下来，复杂度是O(n²*2ⁿ)，勉强能做点大的。这个叫状态压缩。

记忆化搜索这个这个东西很强大，是个很广的概念，许多问题都可以归结为记忆化搜索。