6、最小最大后悔最小生成树问题详解

最小最大后悔最小生成树问题详解

1 问题定义

在离散优化领域中，最小最大后悔最小生成树（Minmax Regret Minimum Spanning Tree, MR-MST）是一个重要的问题。给定一个无向连通图 ( G=(V, E) )，其中每条边 ( e \in E ) 都有一个区间权重 ([w_e, \bar{w}_e])。我们的目标是找到一棵生成树，使得其最大后悔值最小。后悔值是指在某种情景下，相对于最优解的差距。最小最大后悔方法旨在找到一个解决方案，使得在所有可能的情景下，其最大的后悔值最小。

2 计算复杂性

MR-MST 问题是强 NP 难的，这意味着它在计算上是极其困难的。具体来说，即使所有边的区间权重都等于 ([0, 1])，该问题仍然是强 NP 难的（定理 6.2）。此外，即使所有权重区间的界限都是 0、1 或 2，在完全图中该问题仍然是强 NP 难的（定理 6.3）。这些结果表明，MR-MST 问题在计算上具有很高的复杂性，无法在多项式时间内求解，除非 P=NP。

2.1 NP 难性证明

NP 难性的证明主要依赖于归约方法。具体来说，可以通过将其他已知的 NP 难问题归约到 MR-MST 问题来证明其复杂性。例如，Aron 和 van Hentenryck 以及 Averbakh 和 Lebed