信号与线性系统分析（第四版，吴大正主编）——信号与系统

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本文深入讲解信号与系统的基础概念，包括信号的分类如连续与离散信号、周期与非周期信号，以及实信号和复信号的区别。同时，探讨了信号的基本运算，如加法、乘法、反转和平移，尺度变换等。此外，详细介绍了阶跃函数和冲激函数的特性，以及它们在信号处理中的应用。

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1.1 绪言

（前前一段时间准备蓝桥杯，前一段时间在准备十佳标兵，所以对于学习上的事情感觉不够多，现在要腾出很多时间来开始写写信号，写写数理方程，蓝桥的很多代码也忘了，所以有空也会写写蓝桥，要是后续课程有需要，也写一写后边的课程，一定要坚持下来，加油！）

信号与系统首先要知道什么是信号什么是系统？？？

信号：随时间，空间变化的物理量或者物理现象。

系统：指的是若干相互关联，互相作用的事实按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。

信号与系统的关系：

信号的决定因素——信息

所以：信号是信息的载体，信息决定信号。

信号主要是：电、光、声、磁、机械、热等

信息主要是：语言、文字、图像等

信号和信息的关系：

1.2 信号

确定信号：如果一个信号可以用一个确定的时间函数（或序列）表示，就称其为确定信号（或规则信号）。

随机信号：幅度未可预知但又服从一定统计特性的信号，又称不确定信号。

（因为确定信号是基础，所以接下来讨论的都是确定信号）。

1.连续信号与离散信号

区分：根据定义域的特点可将信号分为连续信号和离散信号。

连续信号：在连续时间范围内（-∞<t<+∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。

如：阶跃函数（取1的时候不包括0）

离散信号：“离散”是指信号的定义域——时间（或其他量）是离散的，它之取某些规定的值。（可闭合表示，也可以列举表示）

如单位阶跃序列：

单位阶跃序列定义为

ε（k）=0，k<0

ε（k）=1，k=0

ε（k）=1，k>0

它类似于连续时间信号中的单位阶跃信号ε（t）

（但应注意ε（t）在t=0处发生跃变，所以在t=0此点常常不予定义或定义为t=0.5），

而单位阶跃序列在ε（k）在t=0处为1。

2.周期信号和非周期信号

周期函数：定义在（-∞，+∞）区间，每隔一定的时间T（或整数N），按相同规律重复变化的信号。

连续周期信号可表示为

f(t) = f(t + mT), m = 0, $\pm$ 1, $\pm$ 2，…… （周期T为最小正周期）

离散周期信号可表示为

f(t) = f(k + mN), m = 0, $\pm$ 1, $\pm$ 2，……

对于一个三角函数（ $\sin$ （ $\beta$ k + $\theta$ ））

当 $\frac{2\pi }{\beta }$ = N（正整数）， N为其周期；

当 $\frac{2\pi }{\beta }$ = M / N (有理数)， M为其周期；

当 $\frac{2\pi }{\beta }$ = 无理数，则该函数为非周期；

3.实信号和复信号

实信号：物理可实现的信号常常是时间t（或k）的实函数（或序列），其在各时刻的函数（或序列）值为实数，如单边指数信号，正弦信号（正弦，余弦统称为正弦信号）等，称为实函数。

复信号：函数（或序列）值为复数的信号成为复信号，做常用的是复指数信号。（一个复指数信号可以分解为实、虚两部分）

例如：

其中

借助欧拉公式展开，可得

（欧拉公式为： formula ）

此结果表明，一个复指数信号可分为实、虚两部分。其中，实部包含余弦信号，虚部则为正弦信号。

4.能量信号和功率信号

连续信号f(t)

信号能量定义为在区间（-∞，+∞）中信号f(t)的能量，用字母E表示，即

${\color{Red} }{\color{Red} E\equiv \lim_{a \to\infty} \int_{-a}^{ a} |f(t)|^2dt}$

信号功率定义为在区间（-∞，+∞）中信号f(t)的平均功率，用字母P表示，即

${\color{Red} P\equiv \lim_{a \to\infty }\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}|f(t)|^2dt}$

若信号f(t)的能量有界（即0<E< $\infty$ ,这时P = 0），则称其为能量有限信号（持续时间有限），简称能量信号。

若信号f(t)的功率有界（即0<P< $\infty$ ,这时E = $\infty$ ），则称其为功率有限信号（如有始信号，周期信号，直流信号），简称功率信号。

离散信号f(k)

离散信号有时也需要讨论能量和功率，

序列f(k)的能量定义为

${\color{Red} }{\color{Red} E\equiv \lim_{N \to\infty} \sum_{k=-N}^{N} |f(k)|^2}$

序列f(k)的功率的定义为

${\color{Red} }{\color{Red} E\equiv \lim_{N \to\infty}\frac{1}{2N+1} \sum_{k=-N}^{N} |f(k)|^2}$ $f_{1}(\cdot )$

1.3 信号的基本运算

1.加法和乘法

连续信号f(t)

信号 $f_{1}(\cdot )$ 与 $f_{2}(\cdot )$ 之和（瞬时和）是指同一瞬时两信号之值对应相加所构成的“和信号”，

即 ${\color{Red} f(\cdot ) =f_{1}(\cdot )+f_{2}(\cdot )}$ (例如调音台，将音乐与语音混合在一起)

信号 $f_{1}(\cdot )$ 与 $f_{2}(\cdot )$ 之积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的“积信号”，

即 ${\color{Red} f(\cdot ) =f_{1}(\cdot )f_{2}(\cdot )}$ （例如收音机的调幅信号，是将音频信号加载到被称为载波的正弦信号上）

离散信号f(k)

离散序列相加（相乘）可采用对应样点的值分别相加（或相乘）的方法来计算。

2.反转和平移

反转：将信号f(t)[或f(k)]中的自变量t（或k）转换为-t（或k）。——几何含义为将信号 $f(\cdot )$ 以纵坐标为轴反转（或称反折）

平移:

连续信号f(t)

对于连续信号f(t),若常数 $t_{0}$ >0, 延时信号 $f(t-{t_{0}})$ 是将原信号沿t轴正方向平移 $t_{0}$ 时间

延时信号 $f(t+{t_{0}})$ 是将原信号沿t轴负方向平移 $t_{0}$ 时间

离散信号f(k)

对于离散信号f(t),若常数 $k_{0}$ >0, 延时信号 $f(k-{k_{0}})$ 是将原信号沿k轴正方向平移 $k_{0}$ 时间

延时信号 $f(k+{k_{0}})$ 是将原信号沿k轴负方向平移 $k_{0}$ 时间

平移和反转的先后顺序：要先平移后反转

3.尺度变换（横坐标展缩）

要想将信号横坐标的尺寸展宽或者压缩（常称为尺度变换），可将变量at(a为非零常数)代替原信号f(t)的自变量t，得到信号f(at)。

连续信号f(t)

f(t) ----->f(at)

若|a| > 1,则以原点为基准压缩 $\frac{1}{|a|}$ ,

若|a| < 1,则以原点为基准展宽 $\frac{1}{|a|}$ , （信号在时域内压缩，在频域会展宽）

离散信号f(k)

f(k) ----->f(ak) ,要求ak是整数，离散信号进行尺度变换常常会丢失原信号的部分信息，因而不能将f(ak)看作f(k)的压缩或者展宽。

总结：已知f(t),求f(at+b) ： 要先平移，再反转，最后尺度变换（所有变得都是自变量）

已知f(at+b),求f(t) ：要先尺度变换，再反转，最后再平移。

1.4 阶跃函数和冲激函数

阶跃函数和冲激函数不同于普通的函数，称为奇异函数。

1.阶跃函数和冲激函数

阶跃函数

冲激函数

狄拉克（Dirac）给出了冲激函数的另一种定义

（1），

（2）

冲激函数与阶跃函数的关系

${\color{Red} \delta (t)=\frac{\mathrm{d}\varepsilon (t) }{\mathrm{d} t}}$

${\color{Red} \varepsilon (t)= \int_{-\infty }^{t}\delta (x)dx}$

2.冲激函数的广义函数定义

粗浅的说，广义函数是这样定义的，选择一类性能良好的函数 $\varphi (t)$ ,称为检验函数（它相当于定义域），一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数 $\varphi (t)$ 赋予一个数值N的映射，该数与广义函数g(t)和检验函数有 $\varphi (t)$ 有关，记作 $N\left [ g(t),\varphi (t) \right ]$

通常广义函数g(t)可写为

$\int_{-\infty }^{\infty }g(t)\varphi (t)dt = N\left [ g(t),\varphi (t) \right ]$

式中的检验函数 $\varphi (t)$ 是连续的，具有任意阶导数，且本身及其各阶导数在无限远处急速下降的普通函数。（本身即无穷阶导数为零）

若

$\int_{-\infty }^{\infty }f(t)\varphi (t)dt = N\left [ f(t),\varphi (t) \right ] = \int_{-\infty }^{\infty }g(t)\varphi (t)dt = N\left [ g(t),\varphi (t) \right ]$