信号与线性系统分析

时域

奇异函数信号

冲激函数

冲激偶函数

$$\int_{-\infty}^t x\delta (x) dx = \epsilon(t)$$

使用分部积分法可求解

零状态响应

LTI系统的零状态响应的线性性质、时不变性和微分性质

设激励为 $f(\cdot)$ , 零状态响应为 $y(\cdot)$

$$y(\cdot) = T[f(\cdot)]$$
线性性质
$$T[af(\cdot)] = aT[f(\cdot)]$$
时不变性
$$\left. \begin{align} T[f(t-t_d)] &= y(t-t_d) \\ T[f(k-k_d)] &= y(k-k_d) \end{align} \right\}$$
微分性质(只有连续信号才有微分)
$$T[\frac{df(t)}{dt}] = \frac{dy(t)}{dt}$$

变换域

1. 变换域的定义（时域到变换域）

2. 复频域的收敛域

3. 变换域与时域的性质

• 线性
• 尺度变换（变量数乘）
• 时移/频移（变量加减常量）
• 时域微积分
• 频域微积分
• 时域卷积
• 频域卷积
• 复频域：初值定理/终值定理

4. 逆变换

5. 变换域分析

• 微分方程的变换解
• 系统函数
• 系统框图

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傅里叶变换

1. 正交函数(集)

定义:

​ 如有 $n$个函数 $\phi_1(t), \phi_2(t), ..., \phi_n(t)$ 构成一个函数集, 当这些函数在区间 $(t_1, t_2)$ 内满足:

$$\int_{t_1}^{t_2}\phi_i(t)\phi_j(t) = \left\{ \begin{align} 0 &, \quad i \neq j \\ K_i \neq 0 &, \quad i=j \\ \end{align} \right.$$

​ 式中 $K_i$ 为常数, 则称此函数集为在区间 $(t_1, t_2)$ 的正交函数集. 在区间 $(t_1, t_2)$ 内相互正交的 $n$ 个函数构成正交信号空间.

信号分析中的两个常见正交函数集:

三角函数

$$\{1, \cos(\Omega t), \cos(2\Omega t), ..., \cos(m\Omega t), ..., \sin(\Omega t), \sin(2\Omega t), ... ,sin(n\Omega t), ...\}$$

指数函数

$$\{e^{jn\Omega t}\} \quad (n=0,\pm1,\pm2,...)$$
帕萨瓦尔方程(判定信号函数可分解为正交函数的依据)

$$\int_{t_1}^{t_2}f^2(t)dt = \sum_{j=1}^\infty C_j^2K_j$$

2. 傅里叶级数

周期信号的傅里叶变换结果是离散的

• 傅里叶变换的前提:
  ​ 函数 $f(t)$ 满足狄里赫利条件
  
  1. 函数在任意有限区间内连续, 或只有有限个第一类间断点;
  2. 在一个周期内, 函数有有限个极大值或极小值.

周期信号的傅里叶展开(傅里叶级数的三角函数形式)

$$\begin{align} f(t) &= \frac{a_0}{2} + a_1\cos(\Omega t)+a_2\cos(\Omega t)+...+b_1\sin(\Omega t)+b_2\sin(\Omega t)+...+ \\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(n\Omega t)+\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(n\Omega t) \end{align}$$

上式中 $a_n, b_n$ 称为傅里叶系数. 傅里叶系数的求解方法如下式:

$$\begin{align} a_n &= \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\Omega t)dt, \quad n = 0,1,2,... \\ b_n &= \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\Omega t)dt, \quad n = 1,2,... \end{align}$$
式中 $T$ 为函数的周期, $\Omega=\frac{2\pi}{T}$ 是角频率

将上述展开式的同频率项合并, 可得到下述形式:

$$\begin{align} f(t) &= \frac{A_0}{2} + A_1\cos(\Omega t+\phi_1)+A_2\cos(2\Omega t+\phi_2)+... \\ &=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty A_n\cos(n\Omega t+\phi_n) \end{align}$$
其中, 上式各系数与原式的关系满足:

A0An<