10、非对称加密：原理、算法与密钥交换

非对称加密：原理、算法与密钥交换

1. 数学基础：模运算

在密码学的世界里，很多算法的理解都离不开数学知识，尤其是模运算。模运算主要是对从 0 到给定数字 n 的自然数进行计算，当达到 n 时，会重新从 0 开始计数，就像时钟的时针，从 0 到 11 计数后又回到 0，这就是一个模 12 的计数器。

1.1 模加法和减法

模加法和减法与普通的加减法类似，但有一个关键区别。当加法结果大于或等于 n 时，需要从结果中减去 n；当减法结果小于 0 时，需要加上 n。为了区分模运算和普通运算，会在等式后面加上 ’(mod n)’。
例如：
- (3 + 5 = 1) (mod 7)
- (2 + 2 = 4) (mod 13)
- (3 - 6 = 6) (mod 9)
- (3 + 6 = 0) (mod 9)

1.2 模乘法

模乘法可以从模加法推导得出，即将乘法写成重复加法的形式。不过，也有更快捷的方法，即先正常相乘，然后不断减去 n，直到结果在 0 到 n - 1 之间。
例如：
- (4·5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4) (mod 7)
- (= 1 + 4 + 4 + 4) (mod 7)
- (= 5 + 4 + 4) (mod 7)
- (= 2 + 4) (mod 7)
- (= 6) (mod 7)
- 快捷方法：(4·5 = 20 - 7 - 7 = 6) (mod 7)

1.3 模除法

要进行模除法，需要先判断对于任意数字 a，是否存在数字 b