【DP计划】11.4——[BZOJ]逆序对数列（前缀和优化DP）EXTREMELY EASY

最新推荐文章于 2022-07-29 14:55:32 发布

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探讨了如何计算特定逆序对数量的自然数数列总数，通过动态规划方法优化算法，实现对大规模数据的有效处理。

Description
对于一个数列{ai}，如果有i<j且ai>aj，那么我们称ai与aj为一对逆序对数。若对于任意一个由1~n自然数组成的
数列，可以很容易求出有多少个逆序对数。那么逆序对数为k的这样自然数数列到底有多少个？
Input
第一行为两个整数n，k。

Output
写入一个整数，表示符合条件的数列个数，由于这个数可能很大，你只需输出该数对10000求余数后的结果。

Sample Input
4 1
Sample Output
3

样例说明：

下列3个数列逆序对数都为1；分别是1 2 4 3 ；1 3 2 4 ；2 1 3 4；

100%的数据 n<=1000，k<=1000

我们只要知道怎么构筑这个排列即可。

假设我们现在拥有一个从1到n的正序排列，那么它的逆序对数为0。那么从左向右每次将某一个数左移x位，那么就会产生x个逆序对。因此设 $f [i] [j]$ 表示当前已经到了第 $i$ 位，已经左移了 $j$ 位（也就是产生了 $j$ 个逆序对）的方案数，那么转移方程就是

f[i][j]+=f[i-1][k]   //k∈[j-i+1,j] (因为位置为i-1的点最多只能左移i-2位)

于是直接暴力转移是 $O(n^3)$ 的。但是显然 $k$ 属于一段区间，因此可以进行前缀和优化，及对于 $f [i - 1]$ 计算前缀和即可。于是复杂度变为 $O(n^2)$

#include<bits/stdc++.h>
#define MD 10000
using namespace std;
int read(){
    char c;int x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}
int n,k,f[1005][1005],sum[1005];
int main()
{
    n=read();k=read();
    f[1][0]=1;for(int i=0;i<=k;i++) sum[i]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        f[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=k;j++){
            int x=max(0,j-i+1)-1;
            (f[i][j]+=sum[j]-sum[x])%=MD;
        }
        for(int j=0;j<=k;j++) sum[j]=sum[j-1]+f[i][j];
    }
    printf("%d",f[n][k]);
    return 0;
}