7.29-7.30集训——dp优化

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#数据结构 #动态规划 #算法

于 2022-07-29 14:55:32 首次发布

本文探讨了动态规划中的优化技术，包括决策单调性、四边形不等式、斜率优化和wqs二分。通过实例分析了如何利用这些优化方法解决复杂问题，如区间DP、石子合并问题和最小生成树问题，以提高算法效率。

dp优化

根据题目性质优化
数据结构优化

一般观察转移方程可得
常用数据结构：单调队列、前缀和、线段树/树状数组

决策单调性优化

单调栈+二分
斜率优化
分治
wqs二分
凸包优化

POJ1821

k 个人要刷 n 块木板，第 i 个人站在第 $s_{i}$ 块木板上，他可以粉刷长度为 $l_{i}$ 的区间，可以不刷但如果刷的话必须包括 $s_{i}$ 。每块木板只能刷一次，每个人刷一块木板可以获得 $p_{i}$ 元。求最大收益和。
1 <= N <= 16000 1 <= K <= 100

f[i][j] 表示前 i 个人刷了前 j 个木板的收益
f[i][j]=max(f[i−1][k]+(j−k)p[i]) 要求第 i 个人能刷 [k+1,j]
把j提出来
f[i][j]=max(f[i−1][k]−k∗p[i])+j∗p[i]
以第一维为阶段，那么就是用上一维的一段区间里的最大值，单调队列

gym101986E

给一个长为 n 的序列 a，每个点为黑或白，每次操作可以将一个长度小于等于 k 的区间涂白或者涂黑，问变成序列 b 的最少操作次数。 n≤ $5*10^{5}$

$f_{i}$ 表示前 i 个格子一样的最少操作次数。
枚举 j<=i ，把 [j,i] 全涂成 i 点的颜色，然后再将 [j,i] 区间内的点涂成一样的。后者发现是区间内黑白的段数。
满足决策单调性，单调队列扫一遍

决策单调性

1D/1D问题中，若随i增加，决策点单调，那么具有决策单调性
1D/1D：状态数是O(n),单次决策量是O(n)
对于标准的1D/1D方程 $F_{j=\min_{0\leqslant i< j}D_{i}}+w_{i,j}\; \; j\in [1,N]$
其中 $D_{i}$ 是关于 $F_{i}$ 的任意函数
若权函数w满足 $\forall i,j,w_{i,j}+w_{i+1,j+1}\leqslant w_{i,j+1}+w_{i+1,j}$ ，则称其满足凸完全单调性
易证明k>0时，有 $w_{i,j+k}-w_{i,j}$ 随i单调不降， $w_{i+k,j}-w_{i,j}$ 随j单调不降
那么对于 $\forall 1\leqslant a\leqslant b \leqslant c\leqslant d \leqslant \mathbb{N}$ ,