最小二乘法曲线拟合公式推导与代码实现

最新推荐文章于 2025-07-11 09:22:29 发布

stesha_chen

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分类专栏：机器学习算法

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/stesha_chen/article/details/88846192

本文介绍了最小二乘法用于k阶多项式曲线拟合的原理，通过数学推导得出求解参数的公式，并利用代码展示了不同阶数拟合的效果，探讨了过拟合和欠拟合的概念。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

假设现在有n对坐标系中的点 $(x_1, y_1),(x_2,y_2),......,(x_n,y_n)$ ，现在要做k阶多项式拟合，多项式函数如下：

$f(x) = a_0+a_1*x+a_2*x^{2}+...+a_k*x^{k}$ (1)

如果将所有已知的点代入公式1就可以得到n组等式：

$y_1 = a_0+a_1*x_1+a_2*x_1^{2}+...+a_k*x_1^{k}$

$y_2 = a_0+a_1*x_2+a_2*x_2^{2}+...+a_k*x_2^{k}$

...

$y_n = a_0+a_1*x_n+a_2*x_n^{2}+...+a_k*x_n^{k}$

这些不等式不一定的有解的，就是说在k阶多项式的曲线下不能拟合每个点，所以我们需要求多项式计算出来的y与真实y之间最小来实现尽量拟合每个点。

$min[\sum_{i=1}^{n}(f(x_i) - y_i)^{2}]$ (2)

将公式1代入2可以得到

$min[\sum_{i=1}^{n}(a_0+a_1*x_i+a_2*x_i^{2}+...+a_k*x_i^{k} - y_i)^{2}]$ (3)

可以通过公式3对 $a_0,a_1,...,a_k$ 求偏导后令其为0来求解所有a的值，得到下面的式子

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