43、图的广义Mycielskian与粗糙输出确定性自动机的相关研究

图的广义Mycielskian与粗糙输出确定性自动机的相关研究

图的广义Mycielskian直径界限

在图论研究中，对于连通图 $G$ 以及整数 $m \geq 1$，有关于广义Mycielskian图 $\mu_m(G)$ 的直径相关概念和界限。

• 引理1 ：若 $diam(G) < m + 1$，则 $D - k(\mu_m(G)) \leq n$，其中 $1 \leq k \leq \min{ \frac{m}{2} + 1, diam(G)}$。
  • 证明步骤 ：在 $\mu_m(G)$ 中添加边 $v_0^i - z$，此时 $d(v_j^i, z) \leq \frac{m}{2} + 1$，从而得出该界限。
• 引理2 ：设 $d’$ 为向 $G$ 中添加 $D - k(G)$ 条边后 $G$ 的直径，且 $m + 1 \leq diam(G) < 2(m + 1)$，则 $D - k(\mu_m(G)) \leq (m - |E|)D - k(G)$，其中 $E = {i|2i \leq d’}$。
  • 证明步骤 ：设 $v_0^i - v_0^{i’}$（$1 \leq i \leq D - k(G)$）为添加到 $G$ 中使直径至少减小 $k$ 的边。接着在 $\mu_m(G)$ 中添加 $v_j^i - v_j^{i’}$（$j = 0, 1, \cdots, |E|$），显然这会使 $\mu_m(G