38、图的克罗内克积区分数与基于等矩阵规则和字母扁平拼接的语法系统

图的克罗内克积区分数与基于等矩阵规则和字母扁平拼接的语法系统

1. 图的克罗内克积区分数

在图论中，图的区分数是一个重要的概念。对于图 $G$，其区分数 $D(G)$ 定义为最小的整数 $d$，使得图 $G$ 存在一种用 $d$ 种标签对顶点进行标记的方式，且只有平凡自同构能保持这种标记。以下是一些相关概念和定理：
- 基本概念
- 邻域 ：设 $G = (V, E)$ 是一个阶数 $n \geqslant 2$ 的简单图，对于顶点子集 $W \subseteq V$，$W$ 在 $G$ 中的开邻域 $N_G(W)$ 是与 $W$ 中顶点相邻的顶点集合。
- 自同构群 ：$Aut(G)$ 表示图 $G$ 的自同构群。
- 区分标记 ：图 $G$ 的一个标记 $\varphi : V \to {1, 2, \ldots, r}$ 称为 $r$-区分标记，如果图 $G$ 没有非平凡自同构能保持所有顶点的标签。即对于每个非平凡的 $\sigma \in Aut(G)$，存在 $x \in V$ 使得 $\varphi(x) \neq \varphi(\sigma(x))$。
- 区分数 ：图 $G$ 的区分数定义为 $D(G) = \min{r : G$ 有一个 $r$-区分标记 $}$。
- 特殊图的区分数
- 对于没有非平凡自同构的图（非对称图），其区分数为 $1$，即 $D(G) = 1$。
- 当且仅当 $G =