10、近距离魔法图与图的均匀二部有向大图分解研究

近距离魔法图与图的均匀二部有向大图分解研究

在图论的研究中，距离魔法图和图的分解问题一直是备受关注的领域。本文将深入探讨近距离魔法图的相关性质以及图的均匀二部有向大图分解的必要和充分条件。

近距离魔法图的基本概念与性质

• 分数全控制函数与距离魔法常数
  • 设 (G = (V, E)) 是无孤立顶点的图，函数 (f : V →[0, 1]) 若满足对每个顶点 (v ∈V)，都有 (\sum_{x∈N(v)} f(x) ≥1)，则称 (f) 为 (G) 的分数全控制函数。分数全控制数 (\gamma_{ft}(G)) 定义为 (\gamma_{ft}(G) = \min{|f| : f) 是 (G) 的分数全控制函数 (})，其中 (|f| = \sum_{v∈V} f(v))。
  • 对于阶为 (n) 的距离魔法图 (G)，其距离魔法常数 (k) 由公式 (k = \frac{n(n + 1)}{2\gamma_{ft}(G)}) 给出。例如，整数 (4)、(6)、(8) 和 (12) 不会作为任何距离魔法图的魔法常数出现。
• 近距离魔法图的定义与性质
  • 设 (G = (V, E)) 是 (n) 个顶点的图，若存在双射 (f : V →{1, 2, …, n}) 以及正整数 (k)，使得对每个顶点 (v ∈V)，都有 (\sum_{x∈N(v)} f(x) = k) 或 (k + 1)，则称 (f) 为 (G) 的近距离魔法标记，(k) 为图的魔法常数，具有这种标记的图称为近距离魔法图。