6、二分图费勒斯维度 2 的禁止子图研究

二分图费勒斯维度 2 的禁止子图研究

在图论领域，二分图的研究一直是一个重要的方向，特别是对于费勒斯维度为 2 的二分图，其禁止子图的研究具有重要意义。本文将深入探讨二分图中与费勒斯维度 2 相关的禁止子图问题。

1. 双弦图与 ATE 的基本概念

首先，存在一个双弦图的最小集合，任何双弦图具有交替三元组边（ATE）当且仅当它包含该集合中的一个图作为诱导子图。这个集合中的图有多种类型，如 In（n ≥ 9）、IIn（n ≥ 10）、IIIn（n ≥ 10）、IV、V、VI 等。

另外，有一个二分图 B1，它是双弦图且无 ATE，但费勒斯维度为 3，因为其关联图 H(B1) 有奇数环。实际上，它是 Trotter 和 Moore 的 Mi 类的第一个图。其结构如下：

y4
x3
y3
x4
y5
x2
y1
x1
y2
x5
y6
x6

接下来，我们给出一些重要的定义。设 e = xy 是二分图 B = (X, Y, E) 的一条边，B(e) = B(xy) 表示由 adj(x) + adj(y) 诱导的子图。如果 B(e) 或 B(xy) 是完全图，则边 e = xy 是双单纯边。若 B\B(e) 是连通的，则双单纯边 e = xy 是强的；否则是弱的。可以观察到，图 B1 包含强双单纯边 x1y1，其双邻接矩阵可以排列如下：
| | x6 | x5 | x4 | x3 | x2 | x1 |
| — | — | — | — | — | — | — |
| y1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
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