73、机器学习中的PageRank算法与无监督学习方法解析

机器学习中的PageRank算法与无监督学习方法解析

1. PageRank算法概述

PageRank是一种计算互联网网页重要性的方法，也可扩展到计算任何有向图节点的重要性。其基本思想是在有向图上定义一个随机游走模型，即一阶马尔可夫链，描述游走者沿着有向图随机访问每个节点的行为。在一定条件下，极限情况下访问每个节点的概率收敛到一个平稳分布，此时每个节点的概率值就是其PageRank值，代表该节点的相对重要性。

2. 随机游走模型与转移矩阵

在有向图上可以定义一个随机冲浪者模型，即一阶马尔可夫链，其中节点代表状态，有向边代表状态之间的转移。假设从一个节点到所有相连节点的转移概率相等，转移概率由转移矩阵 $M$ 表示。$M = [m_{ij}] {n\times n}$，其中元素 $m {ij}$ 表示从节点 $j$ 跳到节点 $i$ 的概率。

3. PageRank的基本定义

当具有 $n$ 个节点的有向图是强连通且非周期的时，基于它定义的随机游走模型（一阶马尔可夫链）有一个平稳分布，平稳分布向量 $R$ 称为有向图的PageRank。如果矩阵 $M$ 是马尔可夫链的转移矩阵，那么向量 $R$ 满足 $MR = R$。向量 $R$ 的每个分量就是每个节点的PageRank值，即：
$R = \begin{bmatrix}PR(v_1)\PR(v_2)\\vdots\PR(v_n)\end{bmatrix}$
其中 $PR(v_i)$ 表示节点 $v_i$ 的PageRank值。

4. PageRank的一般定义

在现实中，PageRank基本定义的条