51、奇异值分解与主成分分析：原理与应用

奇异值分解与主成分分析：原理与应用

1. 奇异值分解相关问题

1.1 搜索点击数据的外积展开

对于搜索点击数据，需要将其表示为矩阵形式，然后写出其外积展开。不过这里没有给出具体的搜索点击数据矩阵，一般来说，若矩阵 $A$ 可以表示为外积展开的形式，设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，其外积展开可以写成 $A = \sum_{i = 1}^{r} u_i v_i^T$，其中 $r$ 是矩阵 $A$ 的秩，$u_i$ 是 $m$ 维列向量，$v_i$ 是 $n$ 维列向量。

1.2 矩阵奇异值分解与对称矩阵对角化的异同

比较项目	矩阵奇异值分解	对称矩阵对角化
定义	对于任意 $m\times n$ 矩阵 $A$，存在 $m\times m$ 正交矩阵 $U$，$n\times n$ 正交矩阵 $V$ 和 $m\times n$ 对角矩阵 $\Sigma$，使得 $A = U\Sigma V^T$	对于对称矩阵 $A$，存在正交矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP = P^TAP=\Lambda$，其中 $\Lambda$ 是对角矩阵
适用范围	任意矩阵	对称矩阵
分解结果	得到三个矩阵