25、支持向量机：原理、算法与应用详解

支持向量机：原理、算法与应用详解

1. 引言

支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是机器学习领域中一种强大的分类和回归算法。它在解决线性和非线性分类问题上表现出色，广泛应用于图像识别、文本分类、生物信息学等众多领域。本文将深入探讨支持向量机的原理、顺序最小优化（Sequential Minimal Optimization，SMO）算法以及不同类型支持向量机的特点。

2. 支持向量机基础

2.1 线性可分支持向量机

线性可分支持向量机，也称为硬间隔支持向量机，适用于训练数据线性可分的情况。其学习策略是最大间隔法，目标是找到一个能够将不同类别样本完全分开的超平面，并且使该超平面到最近样本点的距离最大。

2.1.1 原始优化问题

线性可分支持向量机的原始优化问题可以表示为一个凸二次规划问题：
[
\begin{align }
\min_{w, b} &\quad \frac{1}{2} |w|^2 \
\text{s.t.} &\quad y_i (w \cdot x_i + b) - 1 \geq 0, \quad i = 1, 2, \cdots, N
\end{align }
]
其中，$w$ 是权重向量，$b$ 是偏置，$x_i$ 是第 $i$ 个样本点，$y_i$ 是其对应的类别标签（$y_i \in {+1, -1}$），$N$ 是样本数量。

2.1.2 对偶问题

为了更高效地求解上述优化问题，通常会将其转化为对偶问题：