Codeforces 438E 生成函数

题意：

给出一个长度为$n$的序列$c$，问对于$i\in [1,m]$，有多少颗二叉树满足每个结点的权值属于序列$c$，并且二叉树的权值总和为$i$

Solution:

二叉树可以有这样一个经典$dp$，设$f[k]$为权值总和为$k$的答案，那么枚举放在根节点的权值，再枚举左子树的权值和，就可以分治做下去，转移方程为

$$f[i]=\sum _{j=1}^{i}g[j]\sum _{k=0}^{i-j}f[k]\times f[i-j-k]$$

其中$g[i]$表示$i$是否存在于$c$序列中。这是一个三卷积形式，可以用生成函数化简，设$F(x),G(x)$分别为$f,g$的生成函数，那么有
$$F(x)=G(x)\times F^2(x)+1$$

这里加1是因为卷积并没有对$f[0]$计数，需要手动+1。解这个方程，可以得到
$$F(x)=\frac{1\pm \sqrt{1-4\times G(x)}}{2\times G(x)}$$
#####假设正负号取正：
$$F(x)=\frac{1+\sqrt{1-4\times G(x)}}{2\times G(x)}=\frac{2}{1-\sqrt{1-4\times G(x)}}$$
由于
$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }G(x)=0 \\ \underset{x\to 0}{\lim }F(x)=1 \end{gathered}$$
令原式中$G(x)\to 0$，得到$F(x)\to \infty$，不符
同理可以验证取负号的时候是对的，所以最后
$$F(x)=\frac{1-\sqrt{1-4\times G(x)}}{2\times G(x)}=\frac{2}{1+\sqrt{1-4\times G(x)}}$$
对$G(x)$开根，求逆即可得到$F(x)$

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<time.h>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1<<18,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f,mod=998244353,inv2=499122177,inv3=332748118;

ll qpow(ll a,ll b)
{
	ll ret=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}

ll inv(ll x){return qpow(x,mod-2);}

namespace poly
{
	//多项式开根二次剩余部分
	ll si;
	struct Complex_MOD
	{
		ll a,b;
		Complex_MOD operator*(const Complex_MOD &t) const
		{
			Complex_MOD res;
			res.a=(a*t.a%mod+b*t.b%mod*si%mod)%mod;
			res.b=(a*t.b%mod+b*t.a%mod)%mod;
			return res;
		}
	};
	inline ll Pow_Complex(Complex_MOD val,ll b)
	{
		Complex_MOD res={1,0};
		while(b)
		{
			if(b&1) res=res*val;
			val=val*val;
			b>>=1;
		}
		return res.a;
	}
	ll squaremod(ll n)
	{
		if(!n) return 0;
		srand((unsigned)(time(NULL)));
		ll p1,p2;
		while(1)
		{
			p1=1ll*rand()*rand()%mod;
			p2=(p1*p1%mod-n+mod)%mod;
			if(::qpow(p2,(mod-1)/2)!=1) break;
		}
		si=p2;
		Complex_MOD val={p1,1};
		int ans=Pow_Complex(val,(mod+1)/2);
		if(mod-ans<ans) ans=mod-ans;
		return ans;
	}
	//以上是二次剩余
	int pos[N],invs[N],invcnt,sqrts[N],sqrtcnt,exps[N],expcnt;
	ll a[N],b[N],invtmp[N],dertmp[N],multitmp[N],lntmp[N],lnlntmp[N],qpowtmp[N];
	int getlen(int k)
	{
		int ret=0;
		while(k){ret++;k>>=1;}
		return ret;
	}
	int getrev(int k,int len)
	{
		int ret=0;
		while(k){ret=(ret<<1|(k&1));k>>=1;len--;}
		return ret<<len;
	}
	int getpos(int n)
	{
		int limit=1;
		while(limit<=n) limit<<=1;
		int len=getlen(limit-1);
		for(int i=0;i<limit;i++) pos[i]=getrev(i,len);
		return limit;
	}
	void ntt(ll *a,int limit,int op)
	{
		for(int i=0;i<limit;i++)
			if(i<pos[i]) swap(a[i],a[pos[i]]);
		for(int len=2;len<=limit;len<<=1)
		{
			ll base=::qpow(op==1?3:inv3,(mod-1)/len);
			for(int l=0;l<limit;l+=len)
			{
				ll now=1;
				for(int i=l;i<l+len/2;i++)
				{
					ll x=a[i]%mod,y=now*a[i+len/2]%mod;
					a[i]=(x+y)%mod;
					a[i+len/2]=(x-y+mod)%mod;
					now=now*base%mod;
				}
			}
		}
	}
	void prepare(int *s,int &cnt,int n)
	{
		cnt=0;
		while(n>1) s[++cnt]=n,n=n+1>>1;
	}
	void inv(ll *f,ll *g,int n)//求出f的乘法逆元，放到g内，f的长度为n，需要保证g是空的
	{
		prepare(invs,invcnt,n); g[0]=::inv(f[0]);
		for(int i=invcnt;i>=1;i--)
		{
			int limit=getpos(invs[i]<<1);
			memcpy(a,f,sizeof(ll)*invs[i]); fill(a+invs[i],a+limit,0);
			ntt(a,limit,1); ntt(g,limit,1);
			for(int i=0;i<limit;i++) g[i]=g[i]*((2-a[i]*g[i]%mod)%mod+mod)%mod;
			ntt(g,limit,-1); ll tmp=::inv(limit);
			for(int i=0;i<limit;i++) g[i]=g[i]*tmp%mod;
			fill(g+invs[i],g+limit,0);
		}
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
	void sqrt(ll *f,ll *g,int n)//多项式f开根，存放在g内，需要保证g是空的
	{
		prepare(sqrts,sqrtcnt,n); g[0]=squaremod(f[0]);//二次剩余
		for(int i=sqrtcnt;i>=1;i--)
		{
			int limit=getpos(sqrts[i]<<1);
			memset(invtmp,0,sizeof(ll)*limit); inv(g,invtmp,sqrts[i]);
			memcpy(a,f,sizeof(ll)*sqrts[i]); fill(a+sqrts[i],a+limit,0);
			ntt(g,limit,1); ntt(invtmp,limit,1); ntt(a,limit,1);
			for(int i=0;i<limit;i++) g[i]=inv2*(g[i]+invtmp[i]*a[i]%mod)%mod;
			ntt(g,limit,-1); ll tmp=::inv(limit);
			for(int i=0;i<limit;i++) g[i]=g[i]*tmp%mod;
			fill(g+sqrts[i],g+limit,0);
		}
	}
	void derivation(ll *f,ll *g,int n)//f求导，放入g
	{
		for(int i=0;i<n-1;i++) g[i]=f[i+1]*(i+1);
		g[n-1]=0;
	}
	void integral(ll *f,ll *g,int n)//f积分，放入g
	{
		g[0]=0;
		for(int i=1;i<n;i++) g[i]=f[i-1]*::inv(i)%mod;
	}
	void multi(ll *f,ll *g,ll *t,int n,int m)//f*g放入t
	{
		int limit=getpos(n+m);
		memcpy(a,f,sizeof(ll)*n); fill(a+n,a+limit,0);
		memcpy(t,g,sizeof(ll)*m); fill(t+m,t+limit,0);
		ntt(a,limit,1); ntt(t,limit,1);
		for(int i=0;i<limit;i++) t[i]=t[i]*a[i]%mod;
		ntt(t,limit,-1); ll tmp=::inv(limit);
		for(int i=0;i<limit;i++) t[i]=t[i]*tmp%mod;
		fill(t+n+m,t+limit,0);
	}
	void ln(ll *f,ll *g,int n)
	{
		derivation(f,dertmp,n);
		int limit=1;
		while(limit<=(n<<1)) limit<<=1;
		memset(invtmp,0,sizeof(ll)*limit);
		inv(f,invtmp,n);
		multi(dertmp,invtmp,multitmp,n,n);
		integral(multitmp,g,n);
	}
	void exp(ll *f,ll *g,int n)//e^(f)放入g，需要保证g是空的
	{
		prepare(exps,expcnt,n); g[0]=1;
		for(int i=expcnt;i>=1;i--)
		{
			int limit=getpos(exps[i]<<1);
			ln(g,lntmp,exps[i]); fill(lntmp+exps[i],lntmp+limit,0);
			memcpy(a,f,sizeof(ll)*exps[i]); fill(a+exps[i],a+limit,0);
			ntt(g,limit,1); ntt(lntmp,limit,1); ntt(a,limit,1);
			for(int i=0;i<limit;i++) g[i]=g[i]*(((1-lntmp[i]+a[i])%mod+mod)%mod)%mod;
			ntt(g,limit,-1); ll tmp=::inv(limit);
			for(int i=0;i<limit;i++) g[i]=g[i]*tmp%mod;
			fill(g+exps[i],g+limit,0);
			memset(lntmp,0,sizeof(ll)*limit);
		}
	}
	void read(char *s,int n,ll &k1,ll &k2,ll &k3)
	{
		k1=k2=k3=0; int len=strlen(s+1);
		for(int i=1;i<=len;i++)
		{
			k1=(10*k1+(s[i]-'0'))%mod; 
			k2=(10*k2+(s[i]-'0'))%(mod-1);
			if(k3<n) k3=10*k3+(s[i]-'0'); 
		}
	}
	void qpow(ll *f,ll *g,char *s,int n)//字符串形式给出幂，f^(k)放入g中，需要保证g是空的
	{
		ll k1,k2,k3; int sta=0;
		read(s,n,k1,k2,k3);
		while(sta<n&&f[sta]==0) sta++;
		if(sta==n||sta*k1>n||(f[0]==0&&k3>=n))
		{
			for(int i=0;i<n;i++) g[i]=0;
			return;
		}
		ll invsta=::inv(f[sta]),tmp=::qpow(f[sta],k2);
		for(int i=0;i<n;i++) qpowtmp[i]=f[i];
		for(int i=0;i<n;i++) qpowtmp[i]=qpowtmp[i+sta]*invsta%mod;
		ln(qpowtmp,lnlntmp,n);
		for(int i=0;i<n;i++) lnlntmp[i]=lnlntmp[i]*k1%mod;
		exp(lnlntmp,g,n);
		for(int i=n-1;i>=sta*k1;i--) g[i]=g[i-sta*k1]*tmp%mod;
		for(int i=0;i<sta*k1;i++) g[i]=0;
	}
};

char s[N];
int n,m;
ll f[N],g[N];

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x; cin>>x;
		g[x]=mod-4;
	}
	g[0]=1;
	poly::sqrt(g,f,m+1); f[0]=(f[0]+1)%mod;
	memset(g,0,sizeof(g));
	poly::inv(f,g,m+1);
	for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",g[i]*2%mod);
	return 0;
}