LuoguP4317(数位dp)_设表示的二进制表示中的个数。给出一个正整数 ,现在要问你 ,也就是的乘积。-优快云博客

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本文探讨了一种解决特定数学问题的方法，该问题涉及计算一个正整数二进制表示中1的个数的乘积。通过使用数位动态规划（数位DP）和快速幂算法，文章提供了一个高效的解决方案。

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题意：话说花神这天又来讲课了。课后照例有超级难的神题啦…… 我等蒟蒻又遭殃了。花神的题目是这样的：设 $\text{sum}(i)$ 表示 $i$ 的二进制表示中 $1$ 的个数。给出一个正整数 $N$ ，花神要问你 $\prod_{i=1}^{N}\text{sum}(i)∏i=1Nsum(i)$ ，也就是 $\text{sum}(1)\sim\text{sum}(N)$ 的乘积。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll mod=10000007;

ll t,a[55],dp[55][55];
ll dfs(ll pos,ll sum,ll lim){
    ll i,u,ans=0;
    if(pos==0)
    return sum==t;
    if(lim==0&&dp[pos][sum]!=-1)
    return dp[pos][sum];
    u=lim?a[pos]:1;
    for(i=0;i<=u;i++){
        if(i==0)
        ans=(ans+dfs(pos-1,sum,lim&(i==u)));
        else if(sum+1<=t)
        ans=(ans+dfs(pos-1,sum+1,lim&(i==u)));
    }
    if(lim==0)
    dp[pos][sum]=ans;
    return ans;
}
ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
        ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll cal(ll x){
    ll u,ans,pos;
    ans=1,pos=0;
    while(x){
        a[++pos]=x&1;
        x>>=1;
    }
    for(t=1;t<=pos;t++){                        //二进制中的1最多就pos个
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        u=dfs(pos,0,1);
        ans=(ans*qpow(t,u))%mod;
    }
    return ans;
}                                               //枚举二进制中1的个数，然后数位dp,最后直接快速幂算出个数
int main(){
    ll r;
    scanf("%lld",&r);
    printf("%lld\n",cal(r));
    return 0;
}