27、相对论：时空与物质的奇妙之旅

相对论：时空与物质的奇妙之旅

1. 引言

1864年，麦克斯韦证实了太空中存在以光速传播的电磁波，证明了光就是一种电磁波。在当时，已知的波（如声波）传播都需要物质介质，人们便推测，能在恒星与地球间的真空传播的电磁波，也需要一种合适的介质，即“光以太”，它被认为充斥于所有空间。

为了能传播横波形式的光，以太需是刚性固体，且要有很大的剪切模量。同时，像地球、行星和恒星等物质能在其中顺畅运行，不受到丝毫阻力。然而，没人能证实它的存在。有人觉得，以太或许就是牛顿所寻找的绝对空间或基本参考系，牛顿运动定律在其中能完美适用。

以太介质的概念极具吸引力，科学家们开始通过实验来证实这种难以捉摸的介质的存在，进而证明绝对参考系的存在。由于以太是光波的载体，用光波进行相关实验也就顺理成章。

1887年，迈克尔逊和莫雷进行了著名实验，结果却为零，这直接冲击了以太假说。18年后的1905年，爱因斯坦给出了对该实验阴性结果的简单而正确的解释：太空中的光速是一个普适常数。实际上，他将光速的恒定性作为狭义相对论的基本假设之一。

2. 爱因斯坦的相对性原理

以太漂移实验的阴性结果让爱因斯坦坚信，不存在绝对或固定的参考系。1905年，他提出了狭义相对论，10年后的1915年，又提出了更为复杂的广义相对论。狭义相对论处理的是与非加速参考系相关的问题，而广义相对论则涉及加速参考系的问题。这里我们主要关注相对简单的狭义相对论。

3. 狭义相对论

狭义相对论基于两个基本假设：
- 相对性原理 ：所有惯性系中的物理定律必须相同。
- 光速恒定原理 ：真空中的光速在所有惯性系中都具有相同的值$c = 3.00×10^8 m/s$，与观察者的速度或光源的速度无关。

第一个假设表明，所有物理定律，包括力学、电学、磁学和光学等方面的定律，在所有相对匀速运动的参考系中都是相同的。下面我们来看看一些相对论效应。由于我们日常生活中参考系之间的相对运动较小，很多相对论现象并不明显。下面来看几个重要例子。

4. 时间膨胀

不同惯性系中的观察者对同一对事件的时间间隔测量结果总是不同的。假设有一辆以速度$v$向右行驶的车辆，车内天花板上固定着一面镜子，车内静止的观察者$O’$在镜子下方距离为$d$处持有一个激光器。

某一时刻，激光器向镜子发射一束光脉冲（事件1），光脉冲从镜子反射后，在稍后的时刻回到激光器（事件2）。观察者$O’$用时钟测量这两个事件的时间间隔$\Delta t_p$，因为光脉冲的速度为$c$，所以$\Delta t_p = \frac{2d}{c}$，这个时间就是固有时间，即观察者看到事件发生在同一空间点时所测量的时间间隔。

现在考虑另一个参考系中的观察者$O$，在他看来，镜子和激光器以速度$v$向右移动，事件的顺序看起来完全不同。当光从激光器到达镜子时，镜子已经向右移动了一段距离$v\frac{\Delta t}{2}$，其中$\Delta t$是观察者$O$测量的光从$O’$到镜子再回到$O’$所需的时间。也就是说，观察者$O$认为，由于车辆的运动，光要击中镜子，必须以一定角度离开激光器。

对比两个参考系中的情况，我们发现光在观察者$O$的参考系中传播的距离更远。根据狭义相对论的第二个假设，两个观察者测量的光速都为$c$。由于光在观察者$O$的参考系中传播得更远，所以观察者$O$测量的时间间隔$\Delta t$比观察者$O’$测量的时间间隔$\Delta t_p$更长。通过勾股定理可得：
[
\begin{align }
(c\frac{\Delta t}{2})^2&=(v\frac{\Delta t}{2})^2 + d^2\
\Delta t&=\frac{2d}{c\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\
\end{align }
]
因为$\Delta t_p = \frac{2d}{c}$，所以$\Delta t = \frac{\Delta t_p}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma\Delta t_p$，其中$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$。由于$\gamma$总是大于1，这意味着相对于时钟运动的观察者测量的时间间隔比相对于时钟静止的观察者测量的时间间隔更长，这种效应称为时间膨胀。

4.1 示例

假设有两个事件$A$和$B$，它们发生的地点相距$10^6 km$，事件$B$在事件$A$发生$5 s$后发生。
- 求使这两个事件在同一地点发生的参考系的速度 ：该参考系需在$5 s$内移动$10^6 km$，所以速度$v = \frac{10^6}{5} = 2×10^8 m/s$。
- 求该参考系中两事件的时间间隔 ：由于这两个事件在该参考系中发生在同一地点，所以测量的时间间隔为固有时间间隔，即$\Delta t_p = \Delta t\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 5\sqrt{1 - (\frac{2×10^8}{3×10^8})^2} = 3.7 s$。

4.2 双生子佯谬

时间膨胀的一个有趣结果是“双生子佯谬”。假设有一对双胞胎，Mohan和Sohan，20岁时，Mohan乘坐飞船前往距离地球10光年的行星$X$，飞船相对于Sohan所在的惯性系的速度为$0.5c$。到达行星$X$后，Mohan想家了，立刻以相同速度返回地球。

从地球参考系来看，往返所需时间$t = \frac{2×10}{0.5} = 40$年。Mohan返回地球时惊讶地发现，Sohan已经40岁，现在60岁了，而他自己只过了$40\sqrt{1 - (\frac{0.5c}{c})^2} = 34.6$年，现在54.6岁。这种现象就是双生子佯谬。

5. 长度收缩

如果要测量相对于自己静止的杆的长度，可以在一个长的固定刻度上记录杆两端的位置，然后相减即可。但如果杆在运动，就必须同时记录杆两端的位置。

设$L_0$是杆静止时测量的长度。如果杆和观察者之间沿杆的长度方向存在相对速度$v$，同时测量得到的杆的长度$L$为$L = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{L_0}{\gamma}$。由于$\gamma$总是大于1，所以有相对运动时，$L$小于$L_0$。物体在其静止参考系中测量的长度$L_0$称为固有长度或静止长度。在任何与该长度平行且相对运动的参考系中测量的长度总是小于固有长度。需要注意的是，长度收缩只发生在相对运动的方向上。

5.1 长度收缩的证明

长度收缩是时间膨胀的直接结果。假设Mohan坐在一列经过车站的火车上，Sohan站在站台上，他们要测量站台的长度。Sohan用卷尺测量得到站台长度为$L_0$，这是固有长度，因为站台相对于他是静止的。Sohan还注意到，火车上的Mohan经过这段长度的时间为$\Delta t = \frac{L_0}{v}$，即$L_0 = v\Delta t$。

这里的$\Delta t$不是固有时间间隔，因为定义它的两个事件（Mohan经过站台后端和Mohan经过站台前端）发生在两个不同的地点，Sohan必须使用两个同步时钟来测量时间间隔$\Delta t$。

对于Mohan来说，站台在他面前移动。他发现Sohan测量的两个事件在他的参考系中发生在同一地点，他可以用一个静止的时钟来计时，所以他测量的时间间隔$\Delta t_0$是固有时间间隔。对他来说，站台的长度$L = v\Delta t_0$。

由上述两个方程可得$L = \frac{L_0}{\gamma}$。

5.2 示例

一根杆平行于参考系$S$的$x$轴，以$0.63c$的速度沿该轴运动，其静止长度为$1.70 m$。则在参考系$S$中测量的长度$L = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 1.70\sqrt{1 - (0.63)^2} = 1.32 m$。

6. 相对论动量

线性动量守恒定律表明，两个孤立物体碰撞时，它们的总动量保持不变。假设在参考系$S$中描述碰撞时线性动量守恒，如果在另一个参考系$S’$中计算速度，线性动量可能不守恒。但由于物理定律在所有惯性系中相同，线性动量必须在所有惯性系中都守恒。

为了满足这一条件，我们必须修改线性动量的定义，使其满足以下条件：
- 线性动量$p$在所有碰撞中必须守恒。
- 当物体速度$u$趋近于零时，相对论计算得到的$p$值必须趋近于经典值$mu$。

对于任何粒子，满足这些条件的正确相对论线性动量方程为$p = \frac{mu}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} = \gamma mu$。当$u << c$时，$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}$趋近于1，$p$趋近于$mu$。

6.1 示例

一个静止的不稳定粒子分裂成两个质量不等的碎片，较轻碎片的质量为$2.50×10^{-28} kg$，较重碎片的质量为$1.67×10^{-27} kg$。如果较轻碎片分裂后的速度为$0.893c$，求较重碎片的速度。

根据线性动量守恒，系统的初始动量为零，所以最终动量也应为零，即两个粒子的动量大小相等、方向相反。可得：
[
\begin{align }
\frac{m_1u_1}{\sqrt{1 - \frac{u_1^2}{c^2}}}&=\frac{m_2u_2}{\sqrt{1 - \frac{u_2^2}{c^2}}}\
\end{align }
]
代入$m_1 = 2.50×10^{-28} kg$，$m_2 = 1.67×10^{-27} kg$，$u_1 = 0.893c$，解得$u_2 = 0.285c$。

7. 相对论能量

我们知道，线性动量的定义和运动定律需要推广才能与相对性原理兼容，这意味着动能的定义也必须修改。在研究相对论能量之前，先讨论质量的相对性。

7.1 质量的相对性

根据经典力学（牛顿力学），物体的质量是一个常量。但从相对论的时空观念来看，质量不再是常量，物体的质量随其速度的变化关系为$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，其中$m_0$是物体的静止质量。

7.2 爱因斯坦质能关系

考虑一个质量为$m$、速度为$v$的粒子，$m_0$是其静止质量，可以证明相对论动能表达式为$K = (m - m_0)c^2$。这表明物体的动能等于物体相对于静止质量的相对论质量增加量乘以光速的平方。

这意味着即使物体静止，它也具有能量$m_0c^2$，$m_0c^2$被称为物体的静止能量。因此，物体的总能量是动能和静止能量之和，即$E = (m - m_0)c^2 + m_0c^2 = mc^2 = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，这就是著名的爱因斯坦质能关系。

7.3 相对论动能与线性动量的关系

总相对论能量$E = mc^2 = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，线性动量$p = mv$，即$v = \frac{p}{m}$。则$E = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{p^2}{m^2c^2}}}$，化简可得$E^2 = m_0^2c^4 + p^2c^2$。

当粒子静止时，$p = 0$，$E = m_0c^2$（静止质量能量）。对于质量为零的粒子，如光子，$m_0 = 0$，则$E = pc$，该方程精确地描述了总能量和线性动量的关系。

粒子的静止质量$m_0$与其运动无关，在所有参考系中都具有相同的值。而粒子的总能量和线性动量都取决于速度，这些量的值取决于测量它们的参考系。由于$m_0$是常量，所以$E^2 - p^2c^2$在所有参考系中都具有相同的值。

7.4 示例

• 证明速度$v << c$时，粒子的相对论动能近似等于$\frac{1}{2}mv^2$ ：
  已知$K = (m - m_0)c^2 = (\frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0)c^2$，当$v << c$时，$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \approx 1 - \frac{v^2}{2c^2}$，则$K \approx (\frac{m_0}{1 - \frac{v^2}{2c^2}} - m_0)c^2 = m_0c^2(\frac{1}{1 - \frac{v^2}{2c^2}} - 1) \approx m_0c^2(1 + \frac{v^2}{2c^2} - 1) = \frac{1}{2}m_0v^2$。
• 判断压缩弹簧的质量是否大于未压缩弹簧的质量 ：压缩弹簧中储存了弹性势能$U = \frac{1}{2}kx^2$。根据狭义相对论，系统总能量的任何变化都等同于系统质量的变化，所以压缩（或拉伸）弹簧的质量比其处于平衡位置时的质量大$\frac{U}{c^2}$。

8. 相对论多普勒效应

时间膨胀的另一个重要结果是，运动原子发射的光与静止原子发射的光在频率上会发生偏移，这种现象称为多普勒效应。

8.1 光与声的多普勒效应区别

在声学中，多普勒效应不仅取决于声源和观察者之间的相对运动，还取决于声源或观察者是否运动。例如，声源静止，观察者向声源移动时的多普勒效应（频率变化），与观察者静止，声源以相同速度向观察者移动时的情况不同。这是因为声波的传播需要介质，声速总是相对于介质而言的。所以，声源运动和观察者运动分别指相对于介质的运动，代表了不同的物理情况，会导致不同的多普勒效应方程，即声学中的多普勒效应是不对称的。

而光波可以在真空中传播，不需要任何介质。因此，光源以速度$v$向观察者移动和观察者以速度$v$向光源移动在物理上是相同的情况。所以，光的多普勒效应只取决于光源和观察者的相对运动，无论哪一个在移动，即光的多普勒效应是对称的。

8.2 视在频率表达式

假设光源发射光的频率为$f$，根据相对论理论，如果光源或观察者以速度$v$相互靠近（即它们之间的距离在减小），则视在频率$f’ = \frac{f\sqrt{1 + \frac{v}{c}}}{\sqrt{1 - \frac{v}{c}}}$。由于$f’ > f$，光的视在频率会增加（或波长减小），光谱线会向光谱的蓝端移动（蓝移）。

当$v << c$时，$\frac{v^2}{c^2}$非常小，上述表达式可简化为$f’ = f(1 + \frac{v}{c})$，视在频率的变化量$\Delta f = f’ - f = \frac{v}{c}f$，即$\Delta f = \frac{v}{c}f$。因为$\lambda = \frac{v}{f}$，所以$\lambda’ < \lambda$，且$\Delta\lambda = \lambda - \lambda’ = \frac{v}{c}\lambda$，即$\frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$。

如果光源和观察者之间的距离在增加，则$f’ = \frac{f\sqrt{1 - \frac{v}{c}}}{\sqrt{1 + \frac{v}{c}}}$，$f’ < f$，$\lambda’ > \lambda$，光谱线会向红端移动（红移）。

8.3 光多普勒效应的应用

• 估算恒星或星系的速度 ：如果光谱线向蓝端移动，说明恒星正在靠近地球；如果向红端移动，说明恒星正在远离地球。所有已测量的星系都呈现红移，这表明它们正在远离地球，暗示宇宙正在膨胀。
• 交通测速 ：交通警察可以利用多普勒效应来测量道路上车辆的速度。
• 测量等离子体温度 ：多普勒效应可用于测量等离子体的温度。

8.4 示例

一颗恒星以$4×10^4 m/s$的速度向地球移动，恒星光谱中某条谱线的实际波长为$5920 Å$，求该谱线的视在波长。

由于恒星向地球移动，频率增加，波长减小。波长变化量$\Delta\lambda = \frac{v}{c}\lambda = \frac{4×10^4}{3×10^8}×5920 Å = 0.8 Å$，则视在波长$\lambda’ = \lambda - \Delta\lambda = 5920 - 0.8 = 5919.2 Å$。

9. 更多示例

9.1 示例1

求粒子的相对论动量是经典动量两倍时的速度。
经典动量$p_c = mv$，相对论动量$p_r = \frac{mv}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$。已知$p_r = 2p_c$，即$\frac{mv}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2mv$，解得$v = 0.866c$。

9.2 示例2

一列以$0.8c$速度行驶的火车经过站台上的观察者用时$5µs$。
- 求火车参考系中测量的时间间隔 ：$\Delta t_p = \Delta t\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 5\sqrt{1 - (0.8)^2}µs = 3µs$。
- 求火车上观察者测量的火车长度 ：$L_0 = v\Delta t_p = 0.8c×3×10^{-6} s = 0.8×3×10^8×3×10^{-6} m = 720 m$。
- 求站台上观察者测量的火车长度 ：$L = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 720\sqrt{1 - (0.8)^2} m = 432 m$。

9.3 示例3

根据经典物理学，将一个电子从静止加速到$0.9c$需要多大的电势差？
经典动能$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}×9.1×10^{-31}×(0.9×3×10^8)^2 J = \frac{1}{2}×9.1×10^{-31}×(0.9×3×10^8)^2÷(1.6×10^{-19}) eV = 207 keV$，所以所需的电势差为$207 kV$。

9.4 示例4

计算一根长度为$5m$的杆在以$0.6c$速度运动的参考系中的长度和方向，杆与运动方向成$30°$角。
杆在$x$方向的固有长度$L_{x0} = 5\cos30° = 2.5\sqrt{3} m$，在$y$方向的固有长度$L_{y0} = 5\sin30° = 2.5 m$。
在运动参考系中，$L_x = L_{x0}\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 2.5\sqrt{3}\sqrt{1 - (0.6)^2} = 2\sqrt{3} m$，$L_y = L_{y0} = 2.5 m$。
则观察到的长度$L = \sqrt{L_x^2 + L_y^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2.5^2} = 4.27 m$，杆与$x$轴的夹角$\theta = \arctan(\frac{L_y}{L_x}) = \arctan(\frac{2.5}{2\sqrt{3}}) \approx 0.72$（弧度）。

9.5 示例5

一个粒子的总能量是其静止能量的两倍，求其速度。
已知$E = 2E_0$，即$mc^2 = 2m_0c^2$，$m = 2m_0$，又因为$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，所以$\frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2m_0$，解得$v = 0.866c$。

9.6 示例6

一个静止质量为$m_0$的粒子静止在原点，$t = 0$时开始受到一个恒定力$F$的作用，求$t$时刻粒子的速度。
根据运动方程$\frac{dP}{dt} = F$，积分可得$P = Ft$，又因为$P = \frac{m_0v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，所以$\frac{m_0v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = Ft$，解得$v = \frac{Ftc}{\sqrt{m_0^2c^2 + F^2t^2}}$。

9.7 示例7

一名宇航员正在接近月球，他发出频率为$5×10^9 Hz$的无线电信号，发现接收到的回波频率偏移了$10^3 Hz$，求宇航员的接近速度。
设无线电信号的实际频率为$f$，宇航员接近月球的速度为$v$，则月球接收到的频率$f_1 = \frac{f\sqrt{1 + \frac{v}{c}}}{\sqrt{1 - \frac{v}{c}}}$，宇航员接收到的回波频率$f_2 = \frac{f_1\sqrt{1 + \frac{v}{c}}}{\sqrt{1 - \frac{v}{c}}} = f\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}$，可得$v = \frac{f_2 - f}{f_2 + f}c$。
已知$f_2 - f = 10^3 Hz$，$f = 5×10^9 Hz$，则$v = \frac{10^3}{5×10^9 + 10^3}×3×10^8 m/s \approx 30 m/s$。

10. 客观问题

10.1 选择题

题目	选项	答案
一个静止质量为$m_0$的物体，速度为$\frac{\sqrt{3}}{2}c$，其质量为	(a) $\frac{\sqrt{3}}{2}m_0$；(b) $\frac{1}{2}m_0$；(c) $2m_0$；(d) $\frac{2}{\sqrt{3}}m_0$	(c)
狭义相对论指出	(a) 质量在任何惯性系中不受影响；(b) 光速在任何惯性系中不受影响；(c) 时间在所有惯性系中相同；(d) 以上都不是	(b)
一个静止质量为$m_0$的粒子以速度$c$运动，其德布罗意波长为	(a) 零；(b) 无穷大；(c) $\frac{h}{m_0c}$；(d) $\frac{m_0c}{h}$	(a)
一个静止质量为$m_0$的亚原子粒子以非相对论速度$v$运动，其总能量$E$为	(a) $E = m_0c^2$；(b) $E = \frac{1}{2}mv^2$；(c) $E = m_0c^2 + \frac{1}{2}m_0v^2$；(d) $E = m_0c^2 - \frac{1}{2}m_0v^2$	(c)
一个以相对论速度$v$运动的粒子的线性动量大小与什么成正比	(a) $v$；(b) $\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$；(c) $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$；(d) 以上都不是	(d)
在实验室参考系中，两个事件在$A$和$B$点同时发生，在相对于实验室沿什么方向运动的参考系中，这两个事件也同时发生	(a) 平行于$AB$；(b) 垂直于$AB$；(c) 与$AB$成$45°$角；(d) 与$AB$成$135°$角	(b)
实验者测量一根杆的长度，在以下哪种情况下测量的长度最小	(a) 杆和实验者以相同速度$v$同向运动；(b) 杆和实验者以相同速度$v$反向运动；(c) 杆以速度$v$运动，实验者静止；(d) 杆静止，实验者以速度$v$运动	(b)
一个粒子的动能等于其静止能量时，它的速度是多少	(a) $\frac{\sqrt{3}}{4}c$；(b) $\frac{\sqrt{3}}{2}c$；(c) $\frac{2}{\sqrt{3}}c$；(d) $\frac{2\sqrt{2}}{3}c$	(b)
随着粒子速度的增加，其静止质量	(a) 增加；(b) 减少；(c) 保持不变；(d) 改变	(c)
一个质量为$m$的粒子与其反粒子在核反应中湮灭，释放的能量为	(a) 零；(b) $\frac{1}{2}mc^2$；(c) $mc^2$；(d) $2mc^2$	(d)
与电子相关的下列哪个量有有限的上限	(a) 质量；(b) 动量；(c) 速度；(d) 动能	(c)
实验者测量一根杆的长度，最初实验者和杆相对于实验室静止。以下说法正确的是	(A) 如果杆开始平行于其长度方向运动，而观察者静止，测量的长度将减小；(B) 如果杆静止，而观察者开始平行于杆的测量长度方向运动，长度将减小。(a) A正确，B错误；(b) B正确，A错误；(c) A和B都正确；(d) A和B都错误	(c)
一根一米长的杆平行于其长度方向以速度$v$运动，测量长度为$0.6 m$，$v$的值为	(a) $0.6c$；(b) $0.7c$；(c) $0.8c$；(d) $0.9c$	(c)
如果一个以相对论速度运动的粒子的速度加倍，其线性动量将	(a) 变为原来的两倍；(b) 大于原来的两倍；(c) 保持不变；(d) 小于原来的两倍	(b)
一个物体的质量是其静止质量的两倍时，其速度约为	(a) $2.6×10^8 m/s$；(b) $2.2×10^8 m/s$；(c) $1.8×10^8 m/s$；(d) $1.4×10^8 m/s$	(a)
如果一个恒定力作用在一个粒子上，其加速度将	(a) 保持不变；(b) 逐渐减小；(c) 逐渐增加；(d) 不确定	(b)
在狭义相对论中，我们处理的是参考系中相互以恒定什么运动的事件或现象	(a) 速度；(b) 速度；(c) 动量；(d) 加速度	(b)
一定量的水从$0°C$加热到$100°C$，其质量	(a) 保持不变；(b) 略有减少；(c) 略有增加；(d) 大幅增加	(c)
一个参考系运动得非常快，使得随其运动的观察者发现所有长度都缩小到原来的一半，他测量的时间间隔将	(a) 变为原来的一半；(b) 变为原来的两倍；(c) 保持不变；(d) 以上都不是	(b)
一克物质完全转化为热能，能产生多少卡路里的热量	(a) 约$2.1×10^{13}$卡路里；(b) 约$4.2×10^{13}$卡路里；(c) 约$2.1×10^{16}$卡路里；(d) 约$4.2×10^{16}$卡路里	(a)
相对论质量增加首先在电子的情况下被实验检测到，原因是	(a) 相对论质量增加只发生在亚原子粒子上；(b) 相对论质量增加只发生在带负电的粒子上；(c) 电子可以获得与真空中光速相当的速度；(d) 电子的相对论质量增加很明显	(c)
以下哪个粒子参数即使在相对论速度下也保持不变	(a) 电荷；(b) 质量；(c) 线性尺寸；(d) 荷质比	(a)
如果一列火车以光速行驶，其长度将	(a) 无穷大；(b) 零；(c) 不变；(d) 有限但不确定	(b)
1千克物质的能量相当于多少千瓦时	(a) $2.5×10^{10}$；(b) $2.5×10^{12}$；(c) $2.5×10^{14}$；(d) $2.5×10^{16}$	(a)
以下哪组粒子的静止质量为零	(a) 光子和正电子；(b) 中微子和介子；(c) 介子和中子；(d) 光子和中微子	(d)
一个静止质量为零、能量和动量不为零的粒子必须以什么速度运动	(a) 等于$c$；(b) 大于$c$；(c) 小于$c$；(d) 趋于无穷大	(a)
一个观察者测量一艘宇宙飞船的长度，发现它正好是其固有长度的三分之一，宇宙飞船相对于观察者的速度是多少	(a) $\frac{2\sqrt{2}}{3}c$；(b) $\frac{2}{3}c$；(c) $\frac{\sqrt{2}}{3}c$；(d) $c$	(a)
观察者$A$在宇宙飞船中测量两个事件的时间间隔为$1s$，观察者$B$相对于宇宙飞船以速度$\frac{2\sqrt{2}}{3}c$运动，他测量的这两个事件的时间间隔是多少	(a) $0.5s$；(b) $1s$；(c) $2s$；(d) $3s$	(d)
一个粒子的静止质量为$m_0$，当它以速度$v$运动时质量为$m$，以下哪个图表示$\frac{m}{m_0}$与$\beta = \frac{v}{c}$的关系	(图略)	(b)
谁的实验工作证明了光速是一个普遍的自然常数	(a) 迈克尔逊和莫雷；(b) 洛伦兹；(c) 麦克斯韦；(d) 爱因斯坦	(a)
相对论表明牛顿力学适用于	(a) 非常小的速度；(b) 直到光速的速度；(c) 等于光速的速度；(d) 大于光速的速度	(a)
一个粒子与其反粒子湮灭时释放的能量为$E$，每个粒子的质量是多少	(a) $\frac{E}{c}$；(b) $\frac{E}{2c}$；(c) $\frac{E}{c^2}$；(d) $\frac{E}{2c^2}$	(d)

10.2 总结

通过这些客观问题，我们可以进一步巩固对相对论相关概念的理解，包括质量、能量、动量、时间和长度等在不同情况下的变化规律。同时，也能加深对相对论基本假设和效应的认识，如光速恒定、时间膨胀、长度收缩和相对论多普勒效应等。这些知识不仅在理论物理领域有着重要意义，也在实际应用中发挥着作用，如天文学、粒子物理学和现代通信等。

11. 总结与展望

相对论的提出彻底改变了我们对时空和物质的认识。狭义相对论基于光速恒定和相对性原理，揭示了时间膨胀、长度收缩、相对论动量和能量等奇妙的效应，这些效应在日常生活中虽然不易察觉，但在高速运动或微观世界中却起着关键作用。广义相对论则进一步拓展了我们对引力和宇宙结构的理解。

未来，随着科技的不断发展，相对论的应用将会更加广泛。例如，在太空探索中，精确的时间测量和导航需要考虑相对论效应；在粒子加速器中，相对论原理对于加速和控制粒子至关重要。同时，相对论也为我们探索宇宙的奥秘提供了重要的理论基础，如黑洞、引力波等现象的研究都离不开相对论。

然而，相对论也面临着一些挑战和未解之谜。例如，如何将相对论与量子力学统一起来，形成一个完整的理论框架，仍然是物理学界的重大难题。此外，暗物质和暗能量的本质也有待进一步揭示，它们的存在可能会对我们现有的相对论理论提出新的挑战。

总之，相对论是物理学史上的一座丰碑，它的影响深远而广泛。在未来的研究中，我们有望在相对论的基础上取得更多的突破，进一步深化我们对宇宙的认识。

mermaid图：

graph LR
    A[相对论] --> B[狭义相对论]
    A --> C[广义相对论]
    B --> D[相对性原理]
    B --> E[光速恒定原理]
    B --> F[时间膨胀]
    B --> G[长度收缩]
    B --> H[相对论动量]
    B --> I[相对论能量]
    B --> J[相对论多普勒效应]
    C --> K[引力与宇宙结构]

以上博客详细介绍了相对论的基本概念、原理和效应，并通过大量的示例和客观问题加深了对相关知识的理解。同时，也对相对论的未来发展进行了展望，希望能为读者提供一个全面而深入的相对论学习指南。

12. 相对论的实际应用案例分析

12.1 全球定位系统（GPS）中的相对论效应

全球定位系统（GPS）是现代社会中广泛应用的技术，它依赖于一组环绕地球的卫星来提供精确的定位信息。然而，在GPS的运行中，相对论效应起着至关重要的作用。

卫星以高速绕地球运行，根据狭义相对论的时间膨胀效应，卫星上的时钟会比地面上的时钟走得慢。同时，由于卫星所处的引力场比地面弱，根据广义相对论，卫星上的时钟又会比地面上的时钟走得快。这两种效应相互竞争，必须精确计算才能确保GPS系统的准确性。

具体来说，由于卫星的高速运动，其时钟每天会比地面时钟慢约7微秒；而由于引力差异，卫星时钟每天会比地面时钟快约45微秒。综合起来，卫星时钟每天会比地面时钟快约38微秒。虽然这听起来是一个非常小的时间差异，但在GPS系统中，即使是微小的时间误差也会导致定位误差。因为光在1微秒内可以传播约300米，所以38微秒的时间误差会导致定位误差超过10公里。

为了消除相对论效应的影响，GPS系统的工程师们在卫星时钟的设计中进行了精确的调整。他们预先设置卫星时钟的频率，使其在运行时能够补偿相对论效应带来的时间差异，从而确保地面接收器能够接收到准确的时间信号，实现高精度的定位。

12.2 粒子加速器中的相对论应用

粒子加速器是研究微观世界的重要工具，它可以将粒子加速到接近光速的速度。在粒子加速器中，相对论原理起着核心作用。

根据相对论，当粒子的速度接近光速时，其质量会随着速度的增加而显著增加。这意味着要继续加速粒子，需要越来越多的能量。例如，在大型强子对撞机（LHC）中，质子被加速到非常接近光速的速度，其质量会增加到静止质量的数千倍。

为了实现对粒子的有效加速和控制，加速器的设计必须考虑相对论效应。工程师们需要精确计算粒子的相对论质量和能量，以确定所需的加速电场和磁场的强度。同时，相对论也为粒子加速器的性能提供了理论上限。由于粒子的质量会随着速度的增加而无限增大，要将粒子加速到光速是不可能的，这也限制了粒子加速器能够达到的最大能量。

此外，在粒子加速器中产生的高能粒子在与靶物质相互作用时，会释放出巨大的能量，这也与相对论的质能关系密切相关。根据爱因斯坦的质能方程$E=mc^2$，粒子的质量可以转化为能量，这种能量释放过程在粒子物理学研究和核能应用中具有重要意义。

13. 相对论与其他物理理论的关系

13.1 相对论与量子力学的冲突与融合尝试

相对论和量子力学是现代物理学的两大支柱，它们分别在宏观和微观领域取得了巨大的成功。然而，这两个理论之间存在着深刻的冲突。

相对论主要描述了宏观世界中的引力现象和时空结构，它是一种连续的、确定性的理论。而量子力学则主要描述了微观世界中的粒子行为，它是一种离散的、概率性的理论。在某些极端情况下，如黑洞内部或宇宙大爆炸初期，这两个理论的矛盾就会凸显出来。

例如，在黑洞的事件视界附近，相对论预言时空会发生极度弯曲，而量子力学则预言会有量子涨落和粒子的产生与湮灭。目前还没有一个统一的理论能够同时解释这两种现象。

为了将相对论和量子力学统一起来，物理学家们提出了许多理论和模型，如弦理论、圈量子引力等。弦理论认为，基本粒子不是点粒子，而是一维的弦，它们在高维空间中振动，从而产生了各种不同的粒子和相互作用。圈量子引力则试图将时空离散化，用量子化的方法来描述引力。虽然这些理论都取得了一些进展，但目前还没有一个理论能够得到实验的完全验证。

13.2 相对论对经典物理学的修正与拓展

相对论的提出对经典物理学进行了深刻的修正和拓展。在经典物理学中，时间和空间是绝对的，质量是恒定的，而相对论则揭示了时间和空间的相对性以及质量与能量的等价性。

在低速和弱引力场的情况下，相对论的效应非常小，经典物理学的定律仍然可以很好地描述物理现象。例如，在日常生活中，我们可以使用牛顿力学来计算物体的运动和力学问题。然而，当物体的速度接近光速或处于强引力场中时，经典物理学的定律就不再适用，必须使用相对论来进行精确的计算。

相对论的出现也拓展了我们对宇宙的认识。它预言了许多奇特的现象，如黑洞、引力波等，这些现象在近年来都得到了实验的证实。相对论还为我们研究宇宙的起源和演化提供了重要的理论基础，如大爆炸理论就是基于相对论和宇宙学原理建立起来的。

14. 相对论学习的难点与应对策略

14.1 学习相对论的难点

• 概念抽象 ：相对论中的许多概念，如时间膨胀、长度收缩、四维时空等，与我们的日常经验相差甚远，很难直观地理解。例如，时间膨胀意味着在不同的参考系中，时间的流逝速度是不同的，这对于我们习惯了绝对时间观念的人来说是很难接受的。
• 数学要求高 ：相对论的理论推导需要使用高等数学知识，如张量分析、微分几何等。这些数学工具对于大多数初学者来说是比较陌生和困难的，需要花费大量的时间和精力去学习和掌握。
• 思维方式转变 ：学习相对论需要转变传统的思维方式，从绝对的时空观转变为相对的时空观。这需要我们打破常规的思维定式，培养一种全新的物理直觉和逻辑推理能力。

14.2 应对策略

• 结合实例理解 ：通过具体的实例和实际应用来理解相对论的概念和效应。例如，前面提到的GPS和粒子加速器的例子，这些实例可以帮助我们将抽象的概念与实际现象联系起来，从而更好地理解相对论的意义和作用。
• 逐步学习数学 ：对于数学基础较弱的学习者，可以逐步学习相关的数学知识，从简单的微积分开始，逐渐深入到张量分析和微分几何等高级数学工具。同时，可以参考一些专门为物理学习者编写的数学教材，它们通常会结合物理问题来讲解数学知识，更容易理解和掌握。
• 多做练习和讨论 ：通过做练习题和参加讨论班来加深对相对论的理解。练习题可以帮助我们巩固所学的知识，提高解题能力和逻辑思维能力。讨论班则可以让我们与其他学习者交流心得和体会，从不同的角度思考问题，拓宽思维视野。

15. 相对论相关实验与观测成果

15.1 引力波的发现

引力波是爱因斯坦广义相对论的重要预言之一。根据广义相对论，当物质在时空中加速运动时，会产生时空的涟漪，即引力波。然而，引力波非常微弱，很难被探测到。

2015年，激光干涉引力波天文台（LIGO）首次直接探测到了引力波。这次探测到的引力波是由两个黑洞合并产生的，它们在合并过程中释放出了巨大的能量，以引力波的形式传播到了地球。这一发现不仅证实了广义相对论的正确性，也为我们研究宇宙中的极端天体和现象提供了新的手段。

引力波的探测为我们打开了一扇观察宇宙的新窗口。通过分析引力波的信号，我们可以了解黑洞、中子星等致密天体的性质和演化过程，研究宇宙的早期结构和演化等问题。

15.2 光线偏折实验

光线偏折是广义相对论的另一个重要预言。根据广义相对论，引力场会使时空弯曲，光线在弯曲的时空中传播时会发生偏折。

1919年，英国天文学家爱丁顿率领的观测队在日食期间观测到了恒星光线在太阳引力场中的偏折现象，其结果与广义相对论的预言相符。这一实验结果为广义相对论提供了重要的实验支持，也使爱因斯坦的相对论理论得到了广泛的认可。

光线偏折实验不仅证实了广义相对论的正确性，也为我们研究天体的引力场和宇宙的结构提供了重要的方法。通过测量光线在天体引力场中的偏折程度，我们可以推断天体的质量和引力场分布，研究星系和星系团的结构和演化等问题。

16. 结论

相对论作为现代物理学的基石之一，深刻地改变了我们对时空和物质的认识。从狭义相对论的时间膨胀、长度收缩到广义相对论的引力弯曲时空，相对论揭示了许多与我们日常直觉相悖但却真实存在的物理现象。

通过本文的介绍，我们了解了相对论的基本原理、效应以及在实际中的广泛应用。无论是在GPS定位、粒子加速器，还是在宇宙探索等领域，相对论都发挥着不可或缺的作用。同时，我们也认识到相对论与其他物理理论之间的关系，以及在学习和研究相对论过程中所面临的挑战和机遇。

尽管相对论已经取得了巨大的成功，但它仍然面临着一些未解之谜和挑战。例如，如何将相对论与量子力学统一起来，如何解释暗物质和暗能量的本质等问题，都需要我们在未来的研究中不断探索和突破。

相信随着科学技术的不断发展和研究的深入，我们对相对论的理解将会更加深入，相对论也将在更多的领域发挥重要作用，为人类认识宇宙和推动科技进步做出更大的贡献。

mermaid图：

graph LR
    A[相对论学习] --> B[概念理解]
    A --> C[数学学习]
    A --> D[实例应用]
    B --> E[时间膨胀]
    B --> F[长度收缩]
    B --> G[四维时空]
    C --> H[微积分]
    C --> I[张量分析]
    C --> J[微分几何]
    D --> K[GPS]
    D --> L[粒子加速器]
    D --> M[引力波探测]

表格：
|实验或观测成果|意义|
| ---- | ---- |
|引力波的发现|证实广义相对论，开启宇宙观测新窗口|
|光线偏折实验|为广义相对论提供实验支持，研究天体引力场和宇宙结构|