大学概率论与数理统计知识点详细整理

最新推荐文章于 2025-04-13 17:20:13 发布

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#概率论

本文深入探讨概率论与数理统计的核心概念，包括随机变量、分布、数学期望、方差、协方差及常见定理公式。涵盖参数估计、假设检验等统计学关键方法，适用于理解随机现象的规律。

概率论学习自述

所学概率论与数理统计属于大学的一门课程，通过数学方法来解释现实生活中的规律性。主要针对随机变量开展研究。对随机变量的分布，数字特征（数学期望，方差，协方差，矩...）进行研究并依据概率论中的一些基本定理可以通过样本对统计参数进行估计和检验。

概率论的一些基本概念

随机试验：1.可重复进行2.各个结果已知不止一个且无法确定试验出现结果
样本空间：所有可能结果组成的集合
随机事件：一些结果（样本点）的集合
频率与概率：频率在试验趋于无穷时等于概率。概率具有1.非负性2.可列可加性
独立性：两事件的发生相互不影响称为二者独立
古典概型：又称为等可能概型。1.样本点有限2.每个基本事件出现的概率相同
随机变量：对事件发生的各个结果联系数字进行定义，创造出一个随着结果不同而变化的实值单值函数就是随机变量
分布函数和概率密度：分布函数和分布率体现出随机变量取不同值时的概率，概率密度体现出随机变量取值的密集成程度
统计量：随机变量的函数
抽样分布：统计量的分布即为抽样分布

随机变量的分布

一维随机变量的分布

离散型：

（1）0-1分布 （伯努利试验）

(2) 二项分布（n重伯努利试验） $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ ，

相互独立的X~B（n1，p），Y~B（n2，p），X+Y~b（n1+n2），证明见下面附页。

(3) 泊松分布 $P(X=k)=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }$ $\dpi{100} (\sum_{k=0}^{\infty }\frac{\lambda ^{k}}{k!}=e^{\lambda })$

三者之间的关系，多个0-1分布组合成二项分布随机变量。

当λ=np时（即n很大，p很小）可以将二项分布近似成泊松分布。

$P(X=k)=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ 除此之外，在使用这个公式时要注意k不能过大

连续型：

(1)正态分布 概率密度： $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{\frac{-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}$ ,

$X\sim N(\mu _1,\sigma_1 ),Y\simN(\mu_2,\sigma_2)$ 且相互独立，则 $X+Y~N(\mu _1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$ ,

(2)均匀分布 概率密度： $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}& \text{ } a<x<b \\ 0& \text{ } other \end{cases}$ ，

(3)指数分布 概率密度： $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\theta }e^{-x/\theta } & \text{ } x >0\\ 0& \text{ } other \end{cases}$ 主要用 $\lambda = 1/\theta 代替$

二维随机变量

分布函数： F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 分布律：按P(X=x.Y=y)展开

运算特点与性质:

1.P(a<x<b,c<y<d)=F(b,d)-F(b,c)+F(a,d)-F(a,b)

2.F(-∞,y)=F(x,-∞)=0;F(∞,∞)=1

概率密度： f(x,y)满足 $\bg_white F(x,y)=\int_{-\infty }^{y }\int_{-\infty }^{x }f(x,y)dxdy$

边缘分布： $F_{X}(x)=F(x,\infty)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dydx,F_{Y}(y)=F(\infty,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy$

边缘概率密度： $f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy,f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx$

二维随机变量函数的分布：

(1) Z=X+Y $F(z)=\int_{-\infty}^{z}\int_{-\infty}^{\infty}f(z-y,y)dydz$ $f(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(z-y,y)dy$

(2) Z=XY $F_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{z}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left | x \right |}f(x,z/x)dxdz$ $f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left | x \right |}f(x,z/x)dx$

(3) Z=Y/X $F_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{z}\int_{-\infty}^{\infty}\left | x \right |f(x,zx)dxdz$ $f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\left | x \right |f(x,zx)dx$