求第K个丑数

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首先，我们来看下这道面试题的描述：

把只包含因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。 习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数。

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法一：遍历法

要求第K个丑数，那么根据它的性质（只含有2，3，5的因子），我们可以想到一种很直观的方法：
从1开始每次加一往后找，知道找到K个丑数，每一次判断该数是否为丑数的方法是——看该数是否能被2整除，若能则一直除2；然后再看能否被3整除，若能则一直出3；5也做同样的处理。这样看最后剩下的数是否为1，若为1则该数是丑数。

于是我们可以很快写出如下代码：

 int GetUglyNumber_Solution(int index)
  {
        if(index == 1)
            { 
                return 1;
            }
        int start = 1;
        for(int i = 2; i <= index; ++i)
            {
                start++;
                while(!IsUglyNum(start))
                    {
                        start++;
                    }
            }
        return start;
    }
    bool IsUglyNum(int num)
        {
            while(num % 2 == 0)
                {
                    num /= 2;
                }
            while(num % 3 == 0)
                {
                    num /= 3;
                }
            while(num % 5 == 0)
                {
                    num /= 5;
                }
            if(num != 1)
                {
                    return false;
                }
            return true;

        }

在本地一跑，结果一般会对着，但是当你把输入的数比较大时，如1500，那么你会发现：结果要等上个5~6秒的样子。然后在OJ上提交，会发现根本通不过，超时。显然，时间复杂度太高。那么该如何优化呢，当然是我们的空间换时间，这类的题都这样去想就OK了。下面看第二种方法。

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法二：动态规划

*算法分析：*
用一个表table，把0到K-1个丑数存起来，然后求第K个丑数时，可以用前面求出来的丑数，做一个遍历，分别计算该丑数乘以2，3，5是否大于第K-1个丑数的值，取最小的那个大于K-1的数，必定为第K个丑数。

但是这一块的难点在于：在table中找min时的逻辑处理，这一块很难讲清楚，需要看官自己去理清楚。举个例子，在求第4个丑数时，按照算法，我们会先求得1X2，1X3， 1X5,然后这时候5已经大于第3个丑数了；但是我们会发现这时候还不能出循环，因为 接下来2X2也大于第3个丑数，而且4小于5。那么在得到的min为某个丑数乘以3或者5得到时我们还要继续往后找，看是否下一个丑数乘以2，或3 比它更小。 代码如下：

    int GetUglyNumber_Solution(int index)
     {   
        vector<int> table;
        table.push_back(1);
        if(index == 1)
            {
                return 1;
            }

        for(int k  = 2; k <= index; ++k )
        {   
            int min = INT_MAX;
            for(int i = 0; i < k-1; ++i)  //table 的下标
                {
                    if(table[i] * 2 > table[k-2])
                        {
                            if(table[i] * 2 < min)
                                {
                                    min = table[i] * 2;
                                }
                            break;
                        }
                    else if(table[i] * 3 > table[k - 2])
                        {
                            if(table[i] * 3 < min)
                                {
                                    min = table[i] * 3;
                                }
                        }
                    else if(table[i] * 5 > table[k -2])
                        {
                            if(table[i] * 5 < min)
                                {
                                    min = table[i] * 5;
                                }
                        }
                }
            table.push_back(min);
         }
        return table[index-1];
    }

当我们输入1500时大概只要4ms就可出结果了。