UOJ450 [集训队作业2018] 复读机 [生成函数+单位根反演]

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本文介绍了一种使用单位根反演和多项式卷积解决特定数学问题的算法。通过构造生成函数，分别针对d=2和d=3的情况，详细解释了如何求解第n项的值。对于d=2，采用泰勒展开求解；对于d=3，则通过枚举并计算w(3,0),w(3,1),w(3,2)的出现次数。

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可以先构造生成函数，然后单位根反演

$F(x)=\sum_{i=1}^{inf}[d|i]\frac{x^i}{i!}=\frac{1}{d}\sum_{i=0}^{inf} \frac{x^i}{i!}\sum_{j=0}^{d-1}w_d^{ij}=\frac{1}{d}\sum_{j=0}^{d-1}\sum_{i=0}^{inf}\frac{(x*w_d^j)^i}{i!}=\frac{1}{d}\sum_{j=0}^{d-1}e^{x*w_d^j}$

当 d = 2 时 $F(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ , 需要自己与自己卷 k 次，然后求第 n 项

$(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^k=\frac{\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}e^{i*2-k}}{2^k}$

泰勒展开一下，第 n 项就是 $\frac{\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(i*2-k)^n}{2^k*n!}$

当 d = 3时，直接暴力枚举 w(3, 0), w(3, 1), w(3, 2) 出现了多少次

$ans=\frac{\sum_{i+j+l=k}\frac{k!}{i!*j!*l!}e^{i*w_3^0+j*w_3^1+l*w_3^2}}{2^k}=\frac{\sum_{i+j+l=k}\frac{k!}{i!*j!*l!}(i*w_3^0+j*w_3^1+l*w_3^2)^n}{2^k}$

#include<bits/stdc++.h>
#define N 500050
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Mod = 19491001, G = 18827933;
int n, k, d;
ll fac[N], inv[N];
ll mul(ll a, ll b){ return a * b % Mod;}
ll add(ll a, ll b){ return (a + b) % Mod;}
ll power(ll a, ll b){ ll ans = 1;
	a = add(a, Mod);
	for(;b;b>>=1){ if(b&1) ans = mul(ans, a); a = mul(a, a);}
	return ans;
}
ll C(int n, int m){ return mul(mul(fac[n], inv[n-m]), inv[m]);}
int main(){
	scanf("%d%d%d", &n, &k, &d);
	fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= k; i++) fac[i] = mul(fac[i-1], i);
	inv[k] = power(fac[k], Mod - 2);
	for(int i = k-1; i >= 2; i--) inv[i] = mul(inv[i+1], i+1);
	if(d == 1){ printf("%lld", power(k, n)); return 0;}
	if(d == 2){
		ll ans = 0;
		for(int i = 0; i <= k; i++){
			ans = add(ans, mul(C(k, i), power(2 * i - k, n)));
		} ans = mul(ans, power(power(2, Mod - 2), k));
		cout << ans;
	}
	if(d == 3){
		ll ans = 0; 
		ll w0 = 1, w1 = mul(w0, power(G, (Mod-1) / 3)), w2 = mul(w1, w1);
		for(int i = 0; i <= k; i++){
			for(int j = 0; j <= k; j++){
				if(i + j > k) break;
				int l = k - i - j;
				ll v = mul(mul(fac[k], inv[i]), mul(inv[j], inv[l]));
				ll tmp = add(mul(i, w0), add(mul(j, w1), mul(l, w2)));
				ans = add(ans, mul(v, power(tmp, n)));
			}
		} ans = mul(ans, power(power(3, Mod - 2), k));
		cout << ans; 
	} return 0;
}