上升序列[三进制状压DP]

描述

给出一个长度为 m 的上升序列 A（1 ≤ A[i]≤ n）, 请你求出有多少种 1...n 的排列, 满足 A 是它的一个 LIS.

输入

第一行两个整数 n,m.

接下来一行 m 个整数, 表示 A.

输出

一行一个整数表示答案.

样例输入

【输入样例1】
5 3
1 3 4
【输出样例1】
11
【输入样例2】
4 2
3 4
【输出样例2】
5

【数据范围与约定】

对于前 30% 的数据, n ≤ 9;

对于前 60% 的数据, n ≤ 12;

对于 100% 的数据, 1 ≤ m ≤ n ≤ 15.

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从n<=15 很容易想到状态压缩

最长不降子序列的一种求法是：使用附加数组 D[i]，表示当前长度为 i 的最长不降子序列最小的结尾是

多少，显然它是单调递增的。每插入一个数就二分找到第一个大于它的位置替换。

我们可以设状态 S1，第 i 位为 1 表示它在 D 中出现了，出现的位置就是 1~i 位 1 的数量

现在就可以设递推状态 f(S,S1)表示当前用了 S 中的数，D 的状态为 S1 的方案数

转移很容易转移，枚举这一位选什么直接更新

注意到 S1 一定是 S 的子集，于是可以用三进制表示

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第一次写3进制的,来用人话翻译一下

首先定义状态f[state]

state 在3进制中可能是 210221001

1表示只在S中出现,也就是说我们已经选过它,在后面不能再选了

2 表示在S与S1中共同出现

于是当前状态表示

选了: 1 2 4 5 6 9

d[i]: 1 4 5的方案

其中一种就是 2 1 4 9 6 5

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现在考虑什么是合法的方案

合法方案的状态S 一定满足 a[i]按顺序出现 即3,1,4明显不合法

于是我们枚举S,然后check

bool check(int s){
	int flag=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if((s&(1<<(a[i]-1)))==0) flag=1;
		else if(flag) return false;
	}return true;
}
for(int i=0;i<(1<<n);i++)//出现了哪些数的状态 
		if(check(i)){...

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我们知道S1是S的子集,于是有种很骚的方法可以不遗漏地枚举出S1

for(int ret=i;;ret=(ret-1)&i){

即ret=(ret-1)&i

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然后将两个二进制状态转成3进制状态

	int sta=0;
	for(int j=1;j<=n;j++){
		if(ret&(1<<(j-1))) sta+=mi[j-1];
		if(i&(1<<(j-1))) sta+=mi[j-1];
	} 

mi[j-1]表示3^(j-1)

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然后考虑更新答案

	if(f[sta]) 
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if((sta/mi[j-1])%3==0){ //第j位为0即可以选
				int ex_sta=sta+mi[j-1]*2; //即选了又在d中
				for(int k=j+1;k<=n;k++)
					if((ex_sta/mi[k-1])%3==2){//当前选的可以顶替原来d数组的下一个位置
						ex_sta-=mi[k-1];break;//然后那个位置就不在d中了
					}
				f[ex_sta]+=f[sta];
			}

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答案为所有状态中满足LIS等于m的f[sta]的和

用一个dfs来搜一下

void dfs(int u,int num,int sta){
	if(u>n){
		if(num==0) ans+=f[sta];
		return;
	}
	dfs(u+1,num,sta+mi[u-1]);
	dfs(u+1,num-1,sta+mi[u-1]*2);
}

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代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 16
#define M 14348910
using namespace std;
int f[M],mi[N];
int n,m,a[N],ans;
int read(){
	int cnt=0;char ch=0;
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))cnt=cnt*10+(ch-'0'),ch=getchar();
	return cnt; 
} 
bool check(int s){
	int flag=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if((s&(1<<(a[i]-1)))==0) flag=1;
		else if(flag) return false;
	}return true;
}
void dfs(int u,int num,int sta){
	if(u>n){
		if(num==0) ans+=f[sta];
		return;
	}
	dfs(u+1,num,sta+mi[u-1]);
	dfs(u+1,num-1,sta+mi[u-1]*2);
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=read();
	
	mi[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) mi[i]=mi[i-1]*3;
	
	f[0]=1;
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)//出现了哪些数的状态 
		if(check(i)){
			for(int ret=i;;ret=(ret-1)&i){//出现但不一定在d中 
				int sta=0;
				for(int j=1;j<=n;j++){
					if(ret&(1<<(j-1))) sta+=mi[j-1];
					if(i&(1<<(j-1))) sta+=mi[j-1];
				} 
				
				if(f[sta]) 
					for(int j=1;j<=n;j++)
						if((sta/mi[j-1])%3==0){ 
							int ex_sta=sta+mi[j-1]*2;
							for(int k=j+1;k<=n;k++)
								if((ex_sta/mi[k-1])%3==2){
									ex_sta-=mi[k-1];break;
								}
							f[ex_sta]+=f[sta];
						}
						
				if(ret==0) break;
			}
		}
	dfs(1,m,0);cout<<ans;
	return 0;
}