NOIP 模拟 20/11/16

最新推荐文章于 2021-11-16 15:01:36 发布

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博客围绕A、B、C、D四个方面的算法问题展开。涉及栈合并贡献计算、集合染色方案的充分必要性证明及DP求解、序列合法性判断与构造、最大匹配问题的背包解法及优化，还有倍增和二分查找次数的分析。

A

略

B

考虑两个栈合并，第二个栈的贡献可以直接算
然后要用第二个栈的 $min⁡\min$ 去找到第一个 $<$ 它的位置算贡献
枚举这个位置算 $>$ 它的 $min⁡\min$ 有多少个就可以了

C

注意到每次就是抠出来一个集合 $S$ ，它的补集填一种颜色
首先这样操作一定是合法的（充分性）
下面证必要性：只需证明合法的染色方案一定存在 $z$ 使得包涵 $z$ 的集合为同一种颜色
若不存在 $z$ ，设 $U$ 为全集且为黑色，那么我们考虑所有为白色的集合
由于包涵 $z$ 的集合中两个颜色都有，所以 $U$ 一定为白色
那么基于这个进行 $DP\mathcal{DP}$ 就可以了

D

注意到第一次出现的位置单调不降
设 $a_x,b_x$ 为 $x$ 在两个序列里最后出现的位置
那么若 $a_x>b_x$ 则不合法
若 $b$ 中有 $a$ 中没有的数那么不合法
我们从后往前构造，此时将 $a_i$ 变成 $b_i$
容易知道 $i$ 之后一定有个 $a_j=b_i$
所以我们可以把 $i$ 之前的 $a_i$ 都变成 $b_i$ 然后把 $a_i$ 变成 $b_i$

A

容易发现答案为 $a_1-a_2$
归纳，若最先合并 $a_{n-1},a_n$ 或者不是，二者是对称的

B

一位一位确定，设当前有 $c$ 个 $p_i=i$ ，有 $t$ 个没有填的 $> i$ 的
$c←m−cc\leftarrow m-c$
先钦定 $(tc)\binom{t}{c}$ 然后相当于是 $t - c$ 个可以 $p_i=i$ 放 $n - i - c$ 个空位
设 $j$ 个 $p_i$ 可以 $= i$ 的放 $i$ 个空位的方案数为 $F_{i,j}$
$Fi,j=∑k≤j(jk)(i−k)!(−1)k=∑k≤j(j−1k)(i−k)!(−1)k+∑k(j−1k−1)(i−k)!(−1)k=Fi,j−1+∑k(j−1k)(i−1−k)!(−1)k+1=Fi,j−1−Fi−1,j−1F_{i,j}=\sum_{k\le j}\binom{j}{k}(i-k)!(-1)^k\\=\sum_{k\le j}\binom{j-1}{k}(i-k)!(-1)^k+\sum_{k}\binom{j-1}{k-1}(i-k)!(-1)^k\\=F_{i,j-1}+\sum_{k}\binom{j-1}{k}(i-1-k)!(-1)^{k+1}=F_{i,j-1}-F_{i-1,j-1}$
故 $F_{i,j}=F_{i-1,j}+F_{i,j+1}$

C

考虑 $r = n$ 怎么做，容易发现最大匹配为 $min⁡(a,b)\min(a,b)$ ， $a, b$ 为左右非零度点个数
于是可以做背包 $O(n2m2)\mathcal{O}(n^2m^2)$
考虑如何最小化最大匹配，由 $Hall\mathcal{Hall}$ 定理，最大匹配为 $n+\min_S(|N(S)|-|S|)$
我们现在知道每个点的度数，要构造一个图使最大匹配最小
那么我们一定会选左边几个度数最小的点，找到右边几个度数最大的点连过去
记 $d (S)$ 为集合 $S$ 的度数和
即 $n+min⁡S,T(∣T∣−∣S∣∣d(S)≤d(T))n+\min_{S,T}(|T|-|S|\mid d(S)\le d(T))$
容易发现只需要在背包里面记录 $∣ S ∣, d (S)$
因为最优解一定可以取到且非法解一定不会取到
复杂度 $O(n3m3)\mathcal{O}(n^3m^3)$