P5591 小猪佩奇学数学（单位根反演）

最新推荐文章于 2023-05-03 20:06:32 发布

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本文探讨了单位根反演在处理特定组合数学问题中的应用，通过将问题分解并利用二项式定理及单位根反演，有效地解决了涉及地板函数的求和问题。文章提供了一个具体的算法实现，展示了如何在O(n)的时间复杂度内解决此类问题。

传送门

思路：题目提示得很明显是单位根反演，我们将 $\lfloor\frac{i}{k}\rfloor$ 拆成 $\frac{i-i\%k}{k}$ ，前半部分用二项式定理，用单位根反演处理后半部分，即
$\sum_{t=1}^{k-1}t\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}p^i\frac{\sum_{j=0}^{k-1}\omega_k^{j(i-t)}}{k}\\=\frac{1}{k}\sum_{t}t\sum_{j=0}^{k-1}\omega^{-jt}_k(p\omega^j_k+1)^n\\=\frac{1}{k}\sum_j(p\omega_k^j+1)^n\sum_tt\omega_k^{-tj}$
按 $j$ 是否为 0 讨论，不为 0 可以等比数列求和，如果用 $b s g s$ 求幂，线性求逆元的话可以 $O (n)$

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
typedef long long ll;
cs int Mod = 998244353;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int dec(int a, int b){ return a - b < 0 ? a - b + Mod : a - b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a,b); }
void Mul(int &a, int b){ a = mul(a,b); }
void Dec(int &a, int b){ a = dec(a,b); }
int ksm(int a, int b){ int as=1; for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) as=mul(as,a); return as; }
cs int N = 1 << 20 | 5;
int n, p, k; int w[N];
int main(){
	#ifdef FSYolanda
	freopen("1.in","r",stdin);
	#endif
	scanf("%d%d%d",&n,&p,&k); int ik=ksm(k,Mod-2);
	int A=mul(mul(n,p),ksm(p+1,n-1)), B=0;
	int wn=ksm(3,(Mod-1)/k); w[0]=1;
	for(int i=1; i<k; i++) w[i]=mul(w[i-1],wn);
	for(int i=0; i<k; i++){
		int coe=ksm(add(mul(p,w[i]),1),n);
		if(i==0) Add(B,mul(coe,((ll)k*(k-1)>>1)%Mod));
		else Add(B,mul(coe,mul(k,ksm(dec(w[k-i],1),Mod-2))));
	} Mul(B,ik); cout<<mul(ik,dec(A,B)); return 0;
}