洛谷11月月赛 Dev.2 简要题解

T2
题意：
给定 $n$个点$m$条边的无向简单联通图$G$，边有边权，保证没有重边和自环
定义一条简单路径的权值为路径上所有边边权的异或和
保证$G$中不存在简单环使得边权异或和不为 $0$
$Q$次询问$x$到$y$的最短简单路径

善于利用题目条件的你发现一个环走哪一边都是可以的，于是按输入顺序求出任意一棵生成树即可

---

T3：
题意：一个序列 $B$，从第一个位置开始，每次可以跳到一个 $j\in [i,i+m]，b_j>0$ 的 $j$，走不动的为输，问先手必胜？$B$ 取 $A$ 中的 $[l,r]$，$n\le 1e6,q\le 1e7$

暴力从后向前解 $sg$ 函数
考虑一个点 $i$，如果向后 m $[i+1,i+m]$ 的 $sg$ 存在一个 0 即必败情况，那么当前必胜
如果全部是 1 且当前是奇数，那么你死定了，$sg$ 为 0，否则 $sg$ 为 1

我们巧妙的发现如果是偶数那么一定为 1，而如果 $i$ 是 0，那么下一个出现 0 的位置至少在$[i-m-1,i]$ 之后并且一个点 $i$ 向前到的那个节点是一定的
先处理出连续一段偶数的最前面的那个点，然后一个处理一个点向前面跳到的那个点，倍增优化，跳到刚好在$l$ 之前的那个点判断其是否为 $l$ 即可，$O((n+q)log(n))$

发现最后可以连成一棵树，问题转化为对每个点求它到根的路径上存不存在一类点
$dfs$ 保留一条链的信息退栈的时候删除即可

---

T4：
题意：给一个 {a1,a2,...,an},{w1,w2,...,wn}\{a_1,a_2,...,a_n\},\{w_1,w_2,...,w_n\}{a1​,a2​,...,an​},{w1​,w2​,...,wn​}
一个 $x$ 初始为 0，每次可以给一个 $x$ 加上 $j\in [-k,k]$
记第 $i$ 次的结果是 $b_i$，要求 $b_i\le a_i$，最大化 ${\sum }_i{b}_i{w}_i$
$n\le 1e6$

首先发现加上一个负的很烦，可以考虑每次操作将当前全部减 $k$，然后在 $[0,2k]$ 讨论

有一个比较巧妙的转换，就是将每一次加的操作的贡献独立开来
其实就是一个比较常见的拆贡献的套路，记第 $i$ 次加的数是 $c_i\in [0,2k]$
$max(\sum b_i{w}_i)=max({\sum }_{i=1}^n{w}_i\ast {\sum }_{j=1}^i{c}_j)={\sum }_{j=1}^n{c}_j{\sum }_{i=j}^n{w}_i$
记 $w$ 的后缀和是 $s$，就是最大化 $\sum c_i{s}_i$ 同时满足$\forall i,{\sum }_{j\le i}{c}_j\le a_i+i\ast k$
后面的可以一开始就是加上

显然先取 $s_i$ 更大的最优，直接贪心，按 $s_i$ 从大到小排序
考虑 $a_i$ 的限制，每次能取到的就是后缀的一个最小值，把它砍成 $0$，并且之后的讨论只能在这个位置之后，可以线段树维护最小值以及区间加，也可以记一个全局减的 $tag$ 一开始求一个后缀 $min$ 就可以了，复杂度 $O(n)$