对数互换公式证明

原创 于 2021-12-24 13:54:14 发布 · 2.2k 阅读 · 1 ·
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#对数 #公式证明 #互换

nlog⁡2m=mlog⁡2n(1)n^{\log_2m} = m^{\log_2n} \tag{1}nlog2​m=mlog2​n(1)

证明：
nlog⁡2m=mlog⁡mnlog⁡2m=mlog⁡2m×log⁡mnn^{\log_2m} = m^{\log_m{n^{\log_2m}}} \\ =m^{\log_2m\times \log_mn}nlog2​m=mlogm​nlog2​m=mlog2​m×logm​n

换底公式：log⁡mb=log⁡nblog⁡nm\log_mb=\frac{\log_nb}{\log_nm}logm​b=logn​mlogn​b​
带入换底公式：
mlog⁡2m×log⁡mn=mlog⁡2m×log⁡2nlog⁡2m=mlog⁡2nm^{\log_2m\times \log_mn} =m^{\log_2m\times \frac{\log_2n}{\log_2m}} \\ =m^{\log_2n}mlog2​m×logm​n=mlog2​m×log2​mlog2​n​=mlog2​n

数学——对数公式log常识回顾
lidashent的博客
10-18 7万+
乐乐乐惆怅长岑长错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错错线程线程被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被被v ...
不等式的证明
sparky的博客
11-12 1637
文章目录函数不等式函数不等式题目题目1题目2（幂指函数==取对数）题目3（把b换成x）题目5（最大最小值得方法）题目6（泰勒公式x与x0位置互换）题目7（难！泰勒，凹凸性的推广）题目 8（两个点的函数值考虑凹凸性）积分不等式积分不等式题目题目1（结论）题目2（几何意义）题目3（分段）用变上限积分函数证明题目4（证明柯西积分不等式）题目5（函数和导数联系==用拉or变上限积分） 函数不等式 函数不等式题目 题目1 如果一个函数没有明显的特点的时候，一般都是讨论单调性 考虑单调性：最常用的方法就是移动到一
对数变换公式的推导
chenbingchenbing的专栏
05-09 2841
<br />对数变换公式的推导<br />lg(a)b=log b/log a<br />Go<br />设a^s=b,e^s1=b,e^s2=a<br />Go<br />(e^s2)^s=e^(s2*s)=b=e^s1<br />Go<br />s2*s=s1<br />Go<br />s=s1/s2<br />Go<br />得到证明。
对数函数换底公式推倒
ywl470812087的博客
11-13 10万+
简介： 对于 且，有 推导过程 法一：若有对数 ，设， 。 则根据对数的基本公式 和 及 , 可得 则有 证毕。 法二：若有对数 ，则，且 于是 两边取以c为底的对数得 ， ，即。 证毕。 法三：若有对数 ，则，且，于是 即 从而 证毕。 ...
对数的换底公式的推导
HGC2016的博客
04-11 1万+
复习高中数学的时候，由于教材没有告知对数公式的推导，所以自己推导了一遍，贡献给大家！
对数之间相互转换
YANJINING
10-15 3173
对数之间相互转换 使用换底公式进行计算转换 log3 n = log 2 n * log 3 2 上述式子各项的值分别表示以3为底n的对数，以2为底3的对数，以3为底2的对数。 转换法则为： (log c n)/ (log c 2) * (logc 2 ) / (logc 3) = (log c n) / (log c 3) 最终为log3 n ...
对数公式及推导
flyawayl的博客
01-01 5万+
什么是对数函数 对数函数是指数函数的反函数，指数函数Y=aXY=a^X对应的对数函数形势如下： X=logaYX = {log_a}Y 根据aX=alogaYa^X=a^{log_aY}，可得到alogaY=Ya^{log_aY}=Y，这个挺重要，下面的证明过程会用到！ 一、logaMN=logaM+logaN{log_a}{MN}=log_aM+log_aN [证明] alo
对数计算公式.pdf
10-22
这个公式可以用于将以a为底数的对数换算为以b为底数的对数。 对数计算公式的应用非常广泛，例如，在数学中，logarithm函数是对数计算公式的基础函数；在物理中，对数计算公式可以用于描述许多物理现象，例如，...
对数函数测试题及答案.doc
10-04
- 第4题利用对数换底公式，`lg2 = a`，`lg3 = b`，求`log10^((2^a)*(3^b))`，转换为`10^(ab)`的形式。 - 第5题通过等式`2lg(x - 2y) = lgx + lgy`，可以得出`x - 2y = xy`，然后求解`x/y`的值。 - 第6题询问函数`...
3指数函数与对数函数(基础提高)[参考].pdf
10-19
例如，例1中通过指数的运算性质将表达式转换为指数形式，例2中求函数的定义域和值域需要考虑底数和被开方数的限制，例3中通过对数运算化简和计算，例4涉及指数和对数的互换，例5和例6则是关于函数最大值和最小值的...
字符串与整数之间的互换
聆听风雨的博客
03-11 1024
#include #include using namespace std; void int2string(int number,char *string2)//把数字变成字符串 { char string[100]; int i = 0; int j = 0; bool is_ = false; //是不是负数 while (i<100) //初始化 { string2[
选择法对数进行交换
qq_42766201的博客
12-05 238
#include&lt;stdio.h&gt; int m,n,a[100]; int main() { int judge(int m); int i,j,k,temp,h,b; scanf("%d",&amp;n); for(i=0;i&lt;n;i++) scanf("%d",&amp;a[i]); for(j=0;j&lt;n-1;j++) ...
网络工程师【软考】02
qq_41883610的博客
04-03 1938
第02课：数据通信基础（一） 1.数据通信基本概念 2.数据通信计算 3.通信传输介质 4.数据调制与编码 考点01：基本概念：信源、信道、信宿；数字信号、模拟信号；模拟通信、数字通信（信道中传送）。 考点02：模拟信道带宽计算：W=f2-f1，其实f1是低频，f2是高频。 考点03：数字信道带宽计算： 尼奎斯特定理（无噪声）：B=2W（B为码元速率、波特率；W为带宽） 信息量n（位）与码元种类N：n=log2N 数据速率R=Blog2N=2Wlog2N 考点04：数字信道带宽计算：香农定理（有噪声）
对数（log）的换算公式
亲亲Friends的博客
10-15 9万+
对数公式的换算，对于算法复杂度的推导非常重要。但是我总忘，这次特地总结一下常用的对数公式，以备后用。 名称 公式 和差 log⁡αMN=log⁡αM+logαN\log_\alpha MN=\log_\alpha M+log_\alpha Nlogα​MN=logα​M+logα​N 换底公式 log⁡αx=log⁡βxlog⁡βα\log_\alpha x=\frac{\lo...
对数公式推导过程
jaune162的专栏，最新动态请关注：https://jaune162.blog
06-15 2万+
积、商、幂的对数 logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaM+logaNlog_{a}MN=log_{a}M + log_{a}N的推导过程如下。 证明：设logaM=p,logaN=q则ap=M,aq=N,代入logaMN，得logaMN=loga(ap⋅aq)=logaap+q=p+q=logaM+logaN所以：logaMN=logaM+logaN证明：设log...
对数函数之间的转换
qq_30116667的博客
03-14 2万+
对数函数之间的转换 由于对数函数的下列运算法则： 以及换底公式： 的存在，对数函数之间存在相互的转换，或者说对数函数没有不变的存在形式。 如，函数 但当我们在规定了x的次数是1次的时候，函数形式可以基本确定下来： ...
证明 logX < X 对所有的 X > 0成立 理解mark
Jamie Jiang's Blog
01-09 4022
最近在看书增长见识,所以可能最近会更一些自己对一些问题的理解。 题目: 证明： logX 0成立。(计算机中默认以2为底) 对于这个问题,百度了很多种解法,有先分析然后判断趋势然后给出结论的，但是这是个证明题是吧。所以我就没有放弃的继续百度了一下，最后比较中意这个数学归纳法。 1、首先我是用画图判断趋势来求证的： 底都是2哈 我这也不知道怎么写能表示出来 先不写2了 logX
dB的换算
热门推荐
优快云-MarkYang
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dB的意义 1.        dB基本上是一个比例数值，也就是一种倍数的表示单位。也就是 测试数据 与 参考标准的相对差异表示。   2.        计算公式上： dB = 10log （P1/P2）= 20 log （V1 / V2）（P代表功率，V代表电压）   V1是测试数据，V2是参考标准。 例如 V1数据是 V2的2倍，就是6 dB。   3.        至于dB
对数运算基本公式
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目录对数的换底公式 对数的四则运算 指数式与对数式的互化对数的换底公式对数的四则运算指数式与对数式的互化
对数计算公式
最新发布
08-21
<think>我们首先需要理解用户的问题：用户希望了解对数的计算公式及其数学定义。因此，我们需要搜索对数的基本定义、常用公式以及应用示例。 搜索关键词：对数定义、对数公式、对数计算法则 根据搜索，对数的数学定义是： 如果 $a^b = N$（$a>0$，$a \neq 1$），那么数 $b$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $\log_a N = b$，其中 $a$ 叫做对数的底数，$N$ 叫做真数。 常见的对数公式包括： 1. 对数的基本性质：$\log_a 1 = 0$，$\log_a a = 1$，$a^{\log_a N} = N$ 2. 对数的运算律： - 积的对数：$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$ - 商的对数：$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ - 幂的对数：$\log_a (M^k) = k \log_a M$ 3. 换底公式：$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$（其中 $c>0$，$c\neq1$） 4. 常用对数和自然对数：常用对数（底为10）记为 $\log_{10} N$ 或 $\lg N$；自然对数（底为e）记为 $\ln N$ 另外，我们还可以给出一些计算示例，以帮助理解。 根据要求，我们将答案组织为多个部分：定义、基本公式、运算律、换底公式、常用对数和自然对数，并给出计算示例。 注意：在回答中，我们将使用数学公式的格式规范，并且每个部分之间换行。最后，我们将生成三个相关问题。 下面开始构建答案：</think>### 对数计算公式及数学定义 **数学定义**： 对数函数是指数函数的反函数。若 $a^x = b$（$a>0$, $a \neq 1$），则 $x$ 称为以 $a$ 为底 $b$ 的对数，记为： $$\log_a b = x$$ 其中 $a$ 为底数，$b$ 为真数，$x$ 为对数。 --- **核心计算公式**： 1. **基本恒等式** $a^{\log_a b} = b$ 且 $\log_a (a^x) = x$ 2. **积的对数公式** $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$ 3. **商的对数公式** $\log_a \left( \frac{M}{N} \right) = \log_a M - \log_a N$ 4. **幂的对数公式** $\log_a (M^k) = k \cdot \log_a M$ 5. **换底公式** $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ 常用特例：$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\lg b}{\lg a}$ 6. **底数变换公式** $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ --- **计算示例（Python实现）** ```python import math # 计算 log₂(8) result = math.log2(8) # 输出 3.0 # 使用换底公式计算 log₅(100) log5_100 = math.log10(100) / math.log10(5) # 输出 ≈2.861 # 验证积公式：log₃(12) = log₃(3×4) = log₃3 + log₃4 log3_12 = math.log(12, 3) log3_3_plus_log3_4 = math.log(3, 3) + math.log(4, 3) # 两者相等 ``` --- **特殊对数类型** | 类型 | 符号 | 底数 | 计算公式 | |------------|--------|------|-------------------| | 自然对数 | $\ln$ | $e$ | $\ln b = \log_e b$ | | 常用对数 | $\lg$ | 10 | $\lg b = \log_{10} b$ | | 二进制对数 | $\log_2$ | 2 | 直接计算 | --- **应用场景** - 解指数方程：$2^x = 16 → x = \log_2 16 = 4$ - 数据压缩：信息熵计算 $H = -\sum p_i \log_2 p_i$ - 声学测量：分贝值 $dB = 10 \log_{10}(P/P_0)$
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