证明 logX < X 对所有的 X > 0成立 理解mark

最近在看书增长见识,所以可能最近会更一些自己对一些问题的理解。

题目: 证明： logX < X 对所有的 X > 0成立。(计算机中默认以2为底)

对于这个问题,百度了很多种解法,有先分析然后判断趋势然后给出结论的，但是这是个证明题是吧。所以我就没有放弃的继续百度了一下，最后比较中意这个数学归纳法。

1、首先我是用画图判断趋势来求证的：

底都是2哈 我这也不知道怎么写能表示出来 先不写2了
logX < X ( X >0,把X除过去)
= logX / log2^X < 1(运用定理logA底B=logC底B/logC底A)
= log2^X底X < log2^X底2的X次方
根据 log 的图像 此时底数为 2>1 log 函数为正且递增
消掉 log2^X底
所以= X < 2^X
在象限中画图 当 X >0时，始终成立的，所以证明完毕。
思路哈,略显单调。

2、第二种就是Mark Allen Weiss这位大师的数学归纳法了
证明:
首先，当0 < X ≤ 1 时，因为X = 1时，log1 = 0 < 1。X = 1/2时, logX = -1 < 1/2，logX < X 显然成立。总之X < 1时，logX为负数，因为X>0,所以logX明显小于X。

然后，当1 < X ≤ 2 时。因为log2 = 1 < 2，且X < 2 时logX < 1。

接下来要考虑的是剩下的区间X>2 ，用数学归纳法。

归纳基础：1< X ≤ 2 时命题成立，由上可知。

归纳假设：假设命题对任意正整数p(p≥1)，p < X ≤ 2p 时命题成立，求证对于任意的正整数p，2p < Y < 4p命题成立。

直接看下面的那一句加粗可