扩展欧几里德算法解析-优快云博客

　http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1061

　　此题其实就是扩展欧几里德算法－求解不定方程，线性同余方程。

　　设过s步后两青蛙相遇，则必满足以下等式：

　　　　(x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....)

　　稍微变一下形得：

　　　　(n-m)*s+k*l=x-y

令n-m=a,k=b,x-y=c,即

　　　　a*s+b*l=c

　　只要上式存在整数解，则两青蛙能相遇，否则不能。

　　首先想到的一个方法是用两次for循环来枚举s,l的值，看是否存在s,l的整数解，若存在则输入最小的s，

但显然这种方法是不可取的，谁也不知道最小的s是多大，如果最小的s很大的话，超时是明显的。

　　其实这题用欧几里德扩展原理可以很快的解决，先来看下什么是欧几里德扩展原理：

　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

　　定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

　　欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：　

　　int Gcd(int a, int b)
　　{
    　　if(b == 0)
        　　return a;
    return Gcd(b, a % b);
　　}

　　当然你也可以写成迭代形式：

　　int Gcd(int a, int b)
　　{
    　　while(b != 0)
    　　{
        　　int r = b;
　　        b = a % b;
    　　    a = r;
    　　}
    　　return a;
　　}

　　本质上都是用的上面那个原理。

　　补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使

用C++的实现：

　　int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
　　{
    　　if(b == 0)
    　　{
        　　x = 1;
        　　y = 0;
       　　 return a;
    　　}
    　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);
    　　int t = x;
    　　x = y;
    　　y = t - a / b * y;
　　    return r;
　　}

　　把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

　　可以这样思考:

　　对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')

　　由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)

　　那么可以得到:

　　a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
　　ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

　　因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y).

　　在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题，可都没有说全，都只说了一部分，看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程，步骤如下：

　　求a * x + b * y = n的整数解。

　　1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;

2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；

　　3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：

x = n' * x0 + b' * t
y = n' * y0 - a' * t
(t为整数)

　　　上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。

　　下面来看看我这题的代码：

# include <stdio.h>
__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
{
         if(b==0)
                return a;
         return gcd(b,a%b);
}
void exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &m,__int64 &n)
{
         if(b==0)
         {
                m=1;
                n=0;
                return ;
         }
         exgcd(b,a%b,m,n);
         __int64 t;
         t=m;
         m=n;
         n=t-a/b*n;
}
int main()
{
         __int64 x,y,m,n,l,a,b,c,k1,k2,r,t;
         while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)
         {
                a=n-m;
                b=l;
                c=x-y;
                r=gcd(a,b);
                if(c%r)
                {
                       printf("Impossible/n");
                       continue;
                }
                a/=r;
                b/=r;
                c/=r;
                exgcd(a,b,k1,k2);
                t=c*k1/b;//注1
                k1=c*k1-t*b;
                if(k1<0)
                       k1+=b;
                printf("%I64d/n",k1);
         }
         return 0;
}
 　　注1：（做废）
　　　　此时方程的所有解为:x = c * k1 + b * t，令x=0可求出当x最小时的t的取值，这样求出的x可能小于0，当其小于0时加上b即可。

注1：（原注1做废）

此时方程的所有解为：x=c*k1-b*t,x的最小的可能值是0，令x=0可求出当x最小时的t的取值，但由于x=0是可能的最小取值，实际上可能x根本取不到0，那么由计算机的取整除法可知：由 t=c*k1/b算出的t，代回x=c*k1-b*t中，求出的x可能会小于0，此时令t=t+1，求出的x必大于0；如果代回后x仍是大于等于0的，那么不需要再做修正。

青蛙的约会 --解法