青蛙的约会 --解法

 http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1061

  此题其实就是扩展欧几里德算法-求解不定方程,线性同余方程。

  设过s步后两青蛙相遇,则必满足以下等式:

    (x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....)

  稍微变一下形得:

    (n-m)*s+k*l=x-y

    令n-m=a,k=b,x-y=c,即

    a*s+b*l=c

  只要上式存在整数解,则两青蛙能相遇,否则不能。

  首先想到的一个方法是用两次for循环来枚举s,l的值,看是否存在s,l的整数解,若存在则输入最小的s,

但显然这种方法是不可取的,谁也不知道最小的s是多大,如果最小的s很大的话,超时是明显的。

  其实这题用欧几里德扩展原理可以很快的解决,先来看下什么是欧几里德扩展原理:

  欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:

  定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

  证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b

  假设d是a,b的一个公约数,则有

  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

  因此d是(b,a mod b)的公约数

  假设d 是(b,a mod b)的公约数,则

  d | b , d |r ,但是a = kb +r

  因此d也是(a,b)的公约数

  因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

  欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为: 

  int Gcd(int a, int b)
  {
      if(b == 0)
          return a;
    return Gcd(b, a % b);
  }

  当然你也可以写成迭代形式:

  int Gcd(int a, int b)
  {
      while(b != 0)
      {
          int r = b;
          b = a % b;
          a = r;
      }
      return a;
  }

  本质上都是用的上面那个原理。

  补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使

用C++的实现:

  int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
  {
      if(b == 0)
      {
          x = 1;
          y = 0;
          return a;
      }
      int r = exGcd(b, a % b, x, y);
      int t = x;
      x = y;
      y = t - a / b * y;
      return r;
  }

  把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是扩展欧几里德算法的精髓。

  可以这样思考:

  对于a' = b, b' = a % b 而言,我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')

  由于b' = a % b = a - a / b * b (注:这里的/是程序设计语言中的除法)

  那么可以得到:

  a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
  bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
  ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

  因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是 y和(x-a/b*y).

  在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题,可都没有说全,都只说了一部分,看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程,步骤如下:

  求a * x + b * y = n的整数解。

  1、先计算Gcd(a,b),若n不能被Gcd(a,b)整除,则方程无整数解;否则,在方程两边同时除以Gcd(a,b),得到新的不定方程a' * x + b' * y = n',此时Gcd(a',b')=1;

    2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0,则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解;

  3、根据数论中的相关定理,可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为:

        x = n' * x0 + b' * t
y = n' * y0 - a' * t
(t为整数)

    上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。

  下面来看看我这题的代码:

 

# include <stdio.h>

__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)

{

       if(b==0)

              return a;

       return gcd(b,a%b);

}

void exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &m,__int64 &n)

{

       if(b==0)

       {

              m=1;

              n=0;

              return ;

       }

       exgcd(b,a%b,m,n);

       __int64 t;

       t=m;

       m=n;

       n=t-a/b*n;

}

int main()

{

       __int64 x,y,m,n,l,a,b,c,k1,k2,r,t;

       while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)

       {

              a=n-m;

              b=l;

              c=x-y;

              r=gcd(a,b);

              if(c%r)

              {

                     printf("Impossible/n");

                     continue;

              }

              a/=r;

              b/=r;

              c/=r;

              exgcd(a,b,k1,k2);

              t=c*k1/b;//注1

              k1=c*k1-t*b;

              if(k1<0)

                     k1+=b;

              printf("%I64d/n",k1);

       }

       return 0;

}

  注1:(做废)
    此时方程的所有解为:x = c * k1 + b * t,令x=0可求出当x最小时的t的取值,这样求出的x可能小于0,当其小于0时加上b即可。

 

       注1:(原注1做废)

              此时方程的所有解为:x=c*k1-b*t,x的最小的可能值是0,令x=0可求出当x最小时的t的取值,但由于x=0是可能的最小取值,实际上可能x根本取不到0,那么由计算机的取整除法可知:由 t=c*k1/b算出的t,代回x=c*k1-b*t中,求出的x可能会小于0,此时令t=t+1,求出的x必大于0;如果代回后x仍是大于等于0的,那么不需要再做修正。

青蛙约会”通常是一个经典的算法题或者是程序设计题目,在C语言中可以用于练习循环、条件判断以及简单的数学运算能力。 ### 题目背景: 两只青蛙在网上相识了,它们约定在线下见面。但是由于这两只青蛙分别位于两个不同的池塘边,并且只能按照一定的步长跳跃前进,因此需要计算出它们何时能够相遇。 假设第一只青蛙A从坐标X开始,每次跳跃M的距离;第二只青蛙B从坐标Y开始,每次跳跃N的距离。两条跑道长度都为L(即两蛙在一个环形轨道上运动)。求解两只青蛙经过多少次跳跃之后会首次相遇? --- #### 算法思路: 这是一个基于同余定理的问题。我们可以将其转化为寻找最小正整数t使得下面等式成立: ``` (X + t * M) % L == (Y + t * N) % L ``` 整理得到: ``` (t * M - t * N) % L = Y - X ``` 设 `D = M - N` 和 `R = Y - X`, 则问题变成找到满足 `(t * D) % L = R` 的最小非负整数`t`. 为了有效解决此方程,我们需要使用**扩展欧几里得算法**(Extended Euclidean Algorithm),通过它不仅可以验证是否有解还可以直接获得解答。 如果 gcd(D,L)|R (gcd代表最大公约数),则存在解决方案。否则无解,表示这两只青蛙永远无法相遇。 --- ##### C语言代码示例 ```c #include <stdio.h> // 扩展欧几里德算法 int ex_gcd(int a, int b, int *x, int *y){ if(b == 0){ *x = 1; *y = 0; return a; } else{ int r = ex_gcd(b, a%b, x, y); int temp = *x; *x = *y; *y = temp - a/b*(*y); return r; } } void frogMeeting(int x,int y,int m,int n,int l){ int d=m-n,r=y-x,g,x0,y0,k,t; g=ex_gcd(d,l,&x0,&y0); // 调用扩展欧几里德 if(r%g!=0){ // 如果r不是g的倍数,则无解 printf("They cannot meet.\n"); }else{ // 否则有解 k=r/g*x0; // 计算特解k*r/g=x0*(d/l)*l+r t=(long long)(l/g)*(k%(l/g)); // 最小正整数解 printf("Frogs will first meet after jumping for %lld times.",(unsigned long long)t); } } int main(){ int x=1,y=2,m=3,n=4,l=5; frogMeeting(x,y,m,n,l); return 0; } ``` 上述代码实现了利用扩展欧几里德算法求解两只青蛙在给定条件下多久能第一次相遇的功能。 ---
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