扩展欧几里得原理

欧几里德算法

概述

欧几里德算法 又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

gcd函数就是用来求(a,b)的 最大公约数 的。

gcd函数的基本性质：

gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

 

 

C++语言实现

int Gcd(int a, int b){ if(b == 0) return a; return Gcd(b, a % b); } // 递归形式 简化形式： int gcd(int a, int b){ return b?gcd(b, a%b):a; } /*不能写成int gcd(int a, int b){ return b?gcd( a%b,b):a; }*/ 当然你也可以写成迭代形式： int Gcd(int a, int b){ while(b != 0){ int r = b; b = a % b; a = r; } return a; } // 非递归形式

 

扩展算法

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整

数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

c++语言实现

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; int x,y,q; void extend_Eulid(int a,int b){     if(b == 0){         x = 1;y = 0;q = a;     }else{         extend_Eulid(b,a%b);         int temp = x;x = y;y = temp - a/b*y;     } } int main(){     int a,b;     cin>>a>>b;     extend_Eulid(a,b);     printf("%d=(%d)*%d+(%d)*%d\n",q,x,a,y,b);     return 0; }

 

 

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab<>0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);