47、分布式系统中的稳定性算法与区域依从性算法

分布式系统中的稳定性算法与区域依从性算法

1. 篡改可见稳定性

1.1 篡改可见稳定性的定义

对于任意序列 $\sigma$（$=\langle s_0, s_1, s_2, …\rangle$），若 $s_0 \in T$ 且 $\sigma$ 是一个 $\langle p, adv, k\rangle$ - 计算，则存在 $l$ 使得 $s_l \in S$。

设 $p$ 是一个状态空间为 $S_p$ 且转移为 $\delta_p$ 的程序，$adv$ 是程序 $p$ 的对手，$k$ 是一个大于 1 的整数。若存在 $T$ 满足以下条件，则称程序 $p$ 对于不变量 $\langle S_1, S_2\rangle$ 在对手 $adv$ 下是 $k$ - 篡改可见稳定的：
- $T$ 在 $p$ 中收敛到 $S_1$。
- $\neg T$ 在 $\langle adv, k\rangle$ 下收敛到 $S_2$。

需要注意的是，篡改可见稳定性的定义并未对对手在 $T$ 中执行时的程序行为提供任何保证。

1.2 稳定性之间的关系

虽然没有详细阐述稳定性、篡改可见稳定性和其他变体（如弱稳定性、主动稳定性、多容忍稳定性等）之间的关系，但可以知道它们之间存在一定的联系和区别。并且在某些情况下，组合篡改可见稳定程序会带来一些在组合稳定程序时不存在的新挑战。

2. 寻找两个节点不相交路径的稳定算法

2.1 算法背景

在图 $G = (V, E)$ 中，从源节点 $s \in V$ 到目标节点 $t \in V$ 的两条路径若除端点外不共享任何节点，则称这两条路径为节点不相交路径。该问题在 VLSI 布局、可靠网络路由、安全消息传输和网络生存性等多个领域有重要应用。

2.2 算法基础

设图 $G$ 包含从 $s$ 到 $t$ 的两条节点不相交路径，$P$ 是从 $s$ 到 $t$ 的一条路径，$d_{sv}$ 是顶点 $v$ 在 $P$ 上到顶点 $s$ 的距离。路径 $P$ 在 $G$ 中的链接路径是一条除端点外与 $P$ 不相交的路径，它从 $P$ 上的一个顶点 $o$ 延伸到 $P$ 上的一个顶点 $w$，且 $w$ 是从 $o$ 可达的最远顶点。

定义 $SP = P_1, P_2, …, P_k$ 为路径 $P$ 在 $G$ 中的最大链接路径序列，需满足以下四个条件：
1. $P_1$ 是第一条链接路径，其起点 $o_1(= s)$，终点为 $w_1$。
2. 对于 $1 < i \leq k$，每条链接路径 $P_{i - 1}$ 有一个后续链接路径 $P_i$，它从其起点 $o_i$ 延伸到终点 $w_i$，满足 $d_{so_1} < d_{so_2} < d_{sw_1}$（$i = 2$）且 $d_{sw_{i - 2}} \leq d_{so_i} < d_{sw_{i - 1}}$（$2 < i \leq k$）。
3. 对于每个 $i$（$1 < i \leq k$），选择 $P$ 上的顶点 $o_i$ 以最大化 $d_{sw_i}$。
4. 最后一条链接路径 $P_k$ 的终点是目标节点 $w_k = t$。

2.3 定理及证明

定理：图 $G = (V, E)$ 包含两个任意但不同的顶点 $s, t \in V$ 之间的两条节点不相交路径 $P_1$ 和 $P_2$，当且仅当存在路径 $P$ 在 $G$ 中的最大链接路径序列 $SP = P_1, P_2, …, P_k$ 满足上述四个条件。

证明：
- “若”方向：通过证明逆否命题。假设链接路径序列 $SP$ 不存在，若第一条链接路径 $P_1$ 不存在，则从 $s$ 出发的所有路径在 $P$ 上的后继节点是相同的；若链接路径 $P_1, P_2, …, P_i$（$1 < i < k$）存在，而 $P_{i + 1}$ 不存在，则 $P_i$ 的终点对于从 $s$ 出发的所有路径是相同的。因此，在这两种情况下，$s$ 到 $t$ 之间不存在两条不相交路径。
- “仅当”方向：通过构造证明。假设链接路径序列 $SP$ 存在，则可以构造两条不相交路径 $P_1$ 和 $P_2$：
- 若 $k$ 为偶数（$k = 2l$）：
$P_1 = P_1, P(w_1, o_3), P_3, P(w_3, o_5), …, P_{2i + 1}, P(w_{2i + 1}, o_{2i + 3}), …, P_{2l - 1}, P(w_{2l - 1}, w_{2l} = t]$
$P_2 = P[o_1 = s, o_2), P_2, P(w_2, o_4), P_4, …, P(w_{2i}, o_{2i + 2}), P_{2i + 2}, …, P(w_{2l - 2}, o_{2l}), P_{2l}$
- 若 $k$ 为奇数（$k = 2l + 1$）：
$P_1 = P_1, P(w_1, o_3), P_3, P(w_3, o_5), P_5, …, P(w_{2i + 1}, o_{2i + 3}), P_{2i + 3}, …, P(w_{2l - 1}, o_{2l + 1}), P_{2l + 1}$
$P_2 = P[o_1 = s, o_2), P_2, P(w_2, o_4), P_4, P(w_4, o_6), …, P_{2i}, P(w_{2i}, o_{2i + 2}), …, P_{2l}, P(w_{2l}, w_{2l + 1} = t]$

2.4 自稳定算法

该算法分四个阶段构造 $s$ 到 $t$ 之间的两条节点不相交路径 $P_1$ 和 $P_2$：
1. 第一阶段 ：通过自稳定的广度优先搜索（BFS）树构造，得到从源节点 $s$ 到目标节点 $t$ 的最短路径 $P$。
2. 第二阶段 ：进行最大 BFS 森林稳定构造，其中 $P$ 上除 $s$ 外的每个进程既是一棵树的根，又是另一棵树的叶，从而发现所有链接路径。并且系统中的每个进程 $p$ 知道其所属链接路径中的前驱。
3. 第三阶段 ：基于前两个阶段，逐步识别并标记满足上述四个条件的链接路径 $P_1, P_2, …, P_k$ 在 $P$ 上的终点 $w_1, w_2, …, w_k$。
4. 第四阶段 ：从目标节点 $t$ 向源节点 $s$ 构造两条不相交路径 $P_1$ 和 $P_2$：
- 两条不相交路径的第一个进程都确定为 $t$。
- $P_1$ 的第二个进程是 $t$ 所属链接路径中的前驱，$P_2$ 的第二个进程是 $t$ 在 $P$ 上的前驱。
- 对于已构造的不相交路径中的最后一个进程 $p$：
- 若 $p$ 在路径 $P$ 上且是链接路径 $P_i$ 的终点，则下一个进程是 $p$ 所属链接路径中的前驱；否则，下一个进程是 $p$ 在 $P$ 上的前驱。
- 若 $p$ 在链接路径 $P_i$ 上，则 $p$ 在链接路径 $P_i$ 上的后继（即 $P_1$ 或 $P_2$ 上的下一个进程）是 $p$ 所属链接路径中的前驱。
- 重复上述步骤，直到源节点 $s$ 被添加到路径中，路径构造结束。

以下是该算法的流程：

graph TD;
    A[第一阶段：BFS树构造] --> B[第二阶段：最大BFS森林构造];
    B --> C[第三阶段：标记链接路径终点];
    C --> D[第四阶段：构造不相交路径];

3. 区域依从性算法

3.1 自稳定系统与区域依从性的引入

自稳定系统是一种非屏蔽容错系统，它总是处于活动状态，但由于故障或不正确的初始化，可能不安全。不过，自稳定系统会在有限的执行步骤内自动恢复到安全状态，这种特性称为收敛。而区域依从性算法则是从另一个角度，即空间上限制系统安全属性的失效。

3.2 区域依从性的概念

一个既活动又安全的系统应该提供用户所需的系统服务，假设系统初始时提供 100% 的服务质量。当发生故障时，系统的预期行为可能会受到影响。区域依从性的基本思想是，对于底层故障模型中的每个故障，对系统服务质量的降低进行上限约束。

例如，假设每个故障导致的最大服务质量降低为 $\alpha = 25\%$，那么系统能够“承受”三个故障，并且仍然能够提供高于 0% 的系统服务，即至少有 25% 的“剩余”质量。

3.3 区域依从性的定义

将分布式系统 $P$ 视为一个由 $n$ 个进程 ${P_0, …, P_{n - 1}}$ 组成的有限集合。进程的状态由其变量的笛卡尔积的赋值给出，所有 $n$ 个进程状态的笛卡尔积定义了系统的配置。设 $C$ 是系统所有可能配置的集合，$c_0 \in C_0 \subseteq C$ 是初始配置集合 $C_0$ 中的一个初始配置。

每个进程根据读写原子性范式以原子步骤执行本地算法，原子步骤会使分布式系统从当前配置 $c$ 转移到后续配置 $c’$。根据算法的所有可能（无故障）配置转移集合为 $A$，表示系统的算法，记为 $c \to_A c’$，也称为计算步骤。故障模型 $F$ 可以看作是由于模型故障导致的从配置 $c$ 到配置 $c’$ 的所有可能配置转移的规范，记为 $c \to_F c’$，也称为故障步骤。

一个非空的配置序列 $\gamma = c_0c_1 \cdots c_n \in C^+$ 若 $c_0$ 是初始配置，且对于 $i > 0$，配置 $c_i$ 通过 $A$ 或 $F$ 转移到 $c_{i + 1}$，则称为一个执行。每个非空的执行前缀也是一个执行，执行可以是有限的或无限的。若存在一个有限执行以某个配置结束，则称该配置是可达的。

设 $g : C \to [0, 1]$ 是一个表示系统服务质量的函数，$f$ 是一个自然数，$r : {0, …, f} \to [0, 1)$ 是一个非递减函数，且 $r(0) = 0$，$r(f) < 1$。若对于所有可达配置 $c \in C$、所有初始配置 $c_0 \in C_0$ 以及所有以 $c$ 结束且故障步骤数 $# {F \setminus A}(\gamma) \leq f$ 的执行 $\gamma = c_0 \cdots c$，都有 $g(c) \geq 1 - r(# {F \setminus A}(\gamma))$，则称算法 $A$ 相对于 $g$、$r$ 和 $F$ 是 $f$ - 区域依从的。执行 $f$ - 区域依从算法的系统也称为 $f$ - 区域依从系统。

3.4 区域依从性系统的特点

与自稳定系统不同，区域依从性系统在发生故障时，每次故障最多使系统进入状态空间的相邻区域，并且能保证一定的服务质量。这意味着系统的行为在空间上受到限制，它不会过渡到任何其他外部区域，而是遵循已知系统质量的区域。

以下是区域依从性系统的特点总结：
|特点|描述|
|----|----|
|服务质量保证|每个故障最多使服务质量降低一定上限，系统能在一定数量故障下保持一定服务质量|
|空间限制|系统行为在空间上受限，故障时最多进入相邻区域|
|可预测性|用户可以根据已知的故障数量，预先知道系统的最小服务质量|

3.5 未来工作展望

区域依从性系统具有良好的容错特性，在发生故障时能实现优雅降级和量化的服务质量保证。未来将开发示例系统，研究区域依从性系统的设计和验证方法，深入分析相关系统属性、故障模型以及合适的“自稳定协同设计”。

综上所述，这些算法在分布式系统的可靠性、安全性和容错性方面都有着重要的应用和研究价值。无论是寻找节点不相交路径的稳定算法，还是区域依从性算法，都为解决分布式系统中的各种问题提供了有效的思路和方法。

4. 算法对比与总结

4.1 篡改可见稳定性与其他稳定性的对比

篡改可见稳定性与传统的稳定性概念有所不同。传统稳定性关注系统在故障后能否恢复到稳定状态，而篡改可见稳定性则进一步考虑了对手的影响，并且对不同的不变量集合有不同的收敛要求。

与弱稳定性、主动稳定性等其他变体相比，篡改可见稳定性在组合程序时会引入新的挑战，而这些挑战在传统稳定性程序组合中并不存在。

稳定性类型	特点	组合挑战
篡改可见稳定性	考虑对手影响，对不同不变量有不同收敛要求	存在新挑战
传统稳定性	关注故障后恢复到稳定状态	相对较少
弱稳定性	特定的稳定性条件	因具体定义而异
主动稳定性	具有主动恢复特性	因具体定义而异

4.2 寻找节点不相交路径算法与其他算法的对比

与之前提出的分布式算法相比，寻找两个节点不相交路径的自适应稳定算法具有自稳定的特性，不需要初始化，并且能够适应拓扑变化，如进程/链路崩溃和添加。

与在特定网络（如网格网络）中寻找所有节点不相交路径的算法相比，该算法适用于匿名任意网络，具有更广泛的应用范围。

4.3 区域依从性算法与自稳定系统的对比

自稳定系统主要在时间上限制安全属性的失效，而区域依从性算法则在空间上进行限制。自稳定系统在故障发生后可能在一段时间内无法保证最小服务质量，而区域依从性系统在每次故障后最多进入相邻区域，并能保证一定的服务质量。

4.4 算法总结

这些算法在分布式系统中各有其独特的优势和应用场景：
- 篡改可见稳定性算法适用于需要考虑对手攻击的场景，为系统的安全性提供了额外的保障。
- 寻找两个节点不相交路径的稳定算法在传感器、移动和固定通信网络的可靠性和安全性方面有广泛应用。
- 区域依从性算法适用于对服务质量有严格要求的系统，能够在故障发生时实现优雅降级。

以下是这些算法的应用场景总结：
|算法名称|应用场景|
|----|----|
|篡改可见稳定性算法|考虑对手攻击的系统安全场景|
|寻找两个节点不相交路径的稳定算法|传感器、移动和固定通信网络的可靠性和安全性|
|区域依从性算法|对服务质量有严格要求的系统|

5. 实际应用案例分析

5.1 寻找节点不相交路径算法的应用

在传感器网络中，寻找两个节点不相交路径的稳定算法可以用于确保数据传输的可靠性和安全性。当网络中出现节点或链路故障时，算法能够快速找到两条不相交的路径，保证数据能够继续传输。

例如，在一个环境监测传感器网络中，传感器节点需要将采集到的数据传输到基站。如果使用该算法，当某个传感器节点或链路出现故障时，系统能够自动寻找两条不相交的路径，确保数据的可靠传输。

5.2 区域依从性算法的应用

在金融交易系统中，区域依从性算法可以用于保证系统的服务质量。金融交易系统对服务质量要求极高，任何故障都可能导致巨大的损失。区域依从性算法可以在故障发生时，限制服务质量的下降，确保系统能够继续提供一定水平的服务。

例如，在股票交易系统中，当出现服务器故障时，区域依从性算法可以保证系统仍然能够处理一定数量的交易请求，避免因故障导致交易中断。

6. 结论

本文介绍了分布式系统中的三种重要算法：篡改可见稳定性算法、寻找两个节点不相交路径的稳定算法和区域依从性算法。这些算法在分布式系统的可靠性、安全性和容错性方面都有着重要的应用价值。

篡改可见稳定性算法为系统的安全性提供了额外的保障，考虑了对手的影响；寻找两个节点不相交路径的稳定算法能够适应拓扑变化，为通信网络的可靠性和安全性提供了有效的解决方案；区域依从性算法在空间上限制了系统安全属性的失效，能够保证系统在故障发生时的服务质量。

未来，随着分布式系统的不断发展，这些算法有望在更多领域得到应用，并且可能会有更多的改进和优化。同时，研究这些算法之间的协同工作，以及如何将它们应用于更复杂的系统中，也是未来的一个重要研究方向。

以下是本文所介绍算法的特点总结：
|算法名称|特点|
|----|----|
|篡改可见稳定性算法|考虑对手影响，组合有新挑战|
|寻找两个节点不相交路径的稳定算法|自适应、自稳定，适用于任意网络|
|区域依从性算法|空间限制服务质量，保证一定服务水平|

graph LR;
    A[篡改可见稳定性算法] --> B[系统安全保障];
    C[寻找两个节点不相交路径的稳定算法] --> D[通信网络可靠性];
    E[区域依从性算法] --> F[服务质量保证];

通过对这些算法的研究和应用，我们可以更好地应对分布式系统中的各种挑战，提高系统的性能和可靠性。