9、风险、损失函数与正则化：理论与实践

风险、损失函数与正则化：理论与实践

1. 风险与损失函数设计的两种理念

在风险和损失函数的设计方面，存在两种互补的理念。

第一种是数据驱动的方法，它以实际产生的损失作为主要指导原则，可能会为了满足数值计算效率的需求而进行修改。这种方法引出了损失函数以及经验风险和期望风险的定义。

第二种方法基于估计（或至少近似）可能生成数据的分布的思想。在最大似然估计的背景下，这种概念与风险和损失的概念非常相似，通过公式 (c(x, y, f(x)) = -\ln p(y|x, f(x))) 建立了两者之间的联系。

这种观点使我们能够更详细地分析估计器的性质，并为无偏估计器的性能提供下限，即克拉默 - 拉奥定理。该定理随后被用作各种损失函数和密度模型（如 (\epsilon) - 不敏感损失）的基准工具。分析结果证实了实验发现，即观测值中的噪声量与 (\epsilon) 的最优宽度之间存在线性相关性。

这进而使我们能够构建自适应损失函数，这些函数可以根据噪声量进行自我调整，类似于截尾均值估计器。这些公式可以直接应用于数学规划中，从而在后续章节中引出 (\nu) - SV 算法。然而，在有限样本大小的情况下，如何做出最优选择仍然是一个有待研究的问题。

2. 相关问题探讨

下面列出了一系列相关的问题，这些问题有助于我们更深入地理解风险和损失函数：
1. 软间隔损失与逻辑回归 ：证明软间隔损失函数 (c_{soft}) 和逻辑损失 (c_{logist}) 在渐近情况下几乎相同，即 (\lim_{f \to -\infty} [c_{soft}(x, 1, f) - c_{