13、分布式系统中的领导者选举算法解析

分布式系统中的领导者选举算法解析

1. 领导者选举算法基础

在分布式系统中，领导者选举是一个关键问题。对于环形网络，我们可以通过概率来分析选举过程。假设在顺时针方向的环形网络中，$P(i,k)$ 表示 $p_x$ 的 $k - 1$ 个顺时针邻居的标识小于 $id_x$，且第 $k$ 个顺时针邻居的标识大于 $id_x$ 的概率。这里有 $(i - 1)$ 个进程的标识小于 $id_x$，$(n - i)$ 个进程的标识大于 $id_x$。用 $\binom{a}{b}$ 表示从 $a$ 个元素的集合中选择 $b$ 个元素的组合数，则 $P(i,k)$ 的计算公式为：
[P(i,k) = \frac{\binom{i - 1}{k - 1}}{\binom{n - 1}{k - 1}} \times \frac{n - i}{n - k}]

由于只有一个消息会在环上完整循环（即携带最高标识的消息），对于其他 $(n - 1)$ 个消息，第 $i$ 个消息的预期传递次数（$i \neq n$）为：
[E_i(k) = \sum_{k = 1}^{n - 1} kP(i,k)]

所有消息的预期传递次数 $E$ 为：
[E = n + \sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{k = 1}^{n - 1} kP(i,k)]
可简化为：
[E = n + \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{n}{k + 1} = n \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\right)]

因为调和级数 $1 + \frac{1}