58、经典可实现性模型中的语义值限制

经典可实现性模型中的语义值限制

在逻辑与类型系统的研究中，经典可实现性模型为二阶类型系统的语义解释提供了重要的理论基础。下面将深入探讨该模型中的关键概念，包括极点、正交性、公式语义、上下文与类型规则，以及系统的充分性和安全性。

极点与正交性

在经典可实现性中，模型由极点参数化，极点作为程序世界和执行上下文（即栈）之间的交换点。
- 极点的定义 ：极点是一个进程集合 $\perp!!\perp \subseteq \Lambda \times \Pi$，它是饱和的（即在反向归约下封闭）。更正式地说，如果 $q \in \perp!!\perp$ 且 $p \twoheadrightarrow q$，那么 $p \in \perp!!\perp$。为了简单起见，使用极点 $\perp!!\perp = {p \in \Lambda \times \Pi \mid p \Downarrow \twoheadrightarrow}$，它显然是饱和的，并且包含所有最终进程。
- 正交性的概念 ：正交性是Krivine经典可实现性的核心概念。类型通过计算相应值的程序来解释（或实现），这种解释通过三层结构展开：
1. 原始语义 ：由一组值组成，收集所有应被视为具有相应类型的语法值。例如，自然数类型的原始语义是集合 ${\overline{n} \mid n \in \mathbb{N}}$，其中 $\overline{n}$ 是 $n$ 的某种编码。
2. 假值 ：包含每个栈的集合，这些栈是使用原始语义中的任何值构建有效进程