47、提升浮点数精度：IFN机制的原理与实现

提升浮点数精度：IFN机制的原理与实现

1. 引言

在浮点数计算中，精度问题一直是一个关键挑战。为了提高表达式浮点计算的精度，引入了提升浮点数（Improving Floating-Point Numbers，IFN）的概念。IFN机制能够对表达式中的每个子表达式进行自适应和适当的精度细化，让用户轻松获得所需精度的计算结果，同时避免有效数字的丢失。

2. IFN机制的贡献

• 自适应精度细化 ：IFN机制实现了对整个表达式中每个子表达式计算的自适应精度细化。与使用固定位数（如MPFR库中的函数）进行计算不同，IFN机制仅使用每个子表达式所需的足够位数进行计算，且每个子表达式的位数会自动调整。
• 形式化定义与运算 ：将IFN形式化为一个特殊表示的浮点数列表，这些浮点数近似相同的实数值且精度不断提高。在此基础上，定义了IFN上的一元/二元运算符和基本数学函数，其结果也是IFN。
• 实验库实现 ：实现了一个实验性的IFN库，包括Haskell库和纯C库。Haskell的惰性求值特性便于自然地实现Haskell库，而C版本的库则用于解决Haskell库的性能问题。将这些库应用于使用双精度数难以获得精确答案的数值问题，证明了IFN机制的有效性。

3. 提升浮点数的概念

IFN直观上是一个无限的浮点数序列，每个浮点数都近似同一个实数值v，即计算的理想结果。序列中越靠右的值越接近v。其基本思想源于“改进序列”，但IFN是无限序列，与改进序列不同。